[es] - Nesvojstveni (?) integral

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.beotel.net

+5 Profil

Nesvojstveni (?) integral

^{02.06.2003. u 12:39 - pre 254 meseci}

Šta je pogrešno u ovom zadatku:

(trebalo bi da se dobije

)

[Ovu poruku je menjao Cabo dana 03.06.2003. u 17:34 GMT]

Kliknite da vidite kako da pišete matematičke formule u [tex]TeX[/tex]-u bez slanja slika

Odgovor na temu

darkosos
Darko Šoš
Beograd

Član broj: 5053
Poruke: 1131
*.ptt.yu

+64 Profil

Re: Nesvojstveni (?) integral

^{03.06.2003. u 08:44 - pre 254 meseci}

Nisam detaljno gledao ali nekako mnogo puta razbijas taj integral naizgled nepotrebno. Nesvojstven je tamo gde je funkcija nedefinisana ili ima prekid. Dakle u ovom slucaju gde je sin^4x + cos^4x = 0. I zasto rastavljas integral od 1/(2+m^2) kad je to neprekidna funkcija na celom R. Mozes eventualno da iskoristis to sto je parna...

Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.beotel.net

+5 Profil

Re: Nesvojstveni (?) integral

^{03.06.2003. u 17:31 - pre 254 meseci}

Integral sam delio pre prve smene zato što smena tipa

(koju sam ja primenio, s tim što mi je

) mora da bude monotona na intervalu na kojem se integriše. Dobro, to važi za

, ali, sa druge strane,

, jer je

. U svakom slučaju, po teoriji ne bi trebalo da se dobije različit rezultat samo zbog podele integrala na dva dela.

Inače, mislim da funkcija

nema (bar ne realne) nule, pa zato nema ni singulariteta.

Posle druge smene dobija se

, pa sam podelio integral da bih ga sveo na integrale sa po jednom „tačkom

“.

Kliknite da vidite kako da pišete matematičke formule u [tex]TeX[/tex]-u bez slanja slika

Odgovor na temu

darkosos
Darko Šoš
Beograd

Član broj: 5053
Poruke: 1131
*.ptt.yu

+64 Profil

Re: Nesvojstveni (?) integral

^{04.06.2003. u 10:39 - pre 254 meseci}

Naterao si me da pogledam svoje sveske iz analize slusane kod Arandjelovica na mat.fak. I nisam nasao da igde pise da fukcija kojom se pravi smena mora da bude monotona... Voleo bih da znam zasto mislis (ili znas) da mora biti monotona.
U pravu si za 'nesvojstvenost', zapravo je nema u pocetnoj postavci.
Uostalom, zbog periodicnosti i pozitivnosti mozes jos pocetni integral da skratis na interval (0,pi/2). U tom intervalu je i tan definisan i monoton. Evo malog hint-a:
sin^4(x) + cos^4(x) = (sin^2(x) + cos^2(x)) ^2 - 2sin^2(x)cos^2(x) = 1-0.5*sin^2(2x); ako jos iskoristis i sin^2(2x) = (1-cos(4x))/2 dobices da je pocetna funkcija periodicna sa periodom 2pi/4 = pi/2. Pri tom je i pozitivna, pa mozes da integralis na intervalu (0,pi/2) i pomnozis na kraju sa 4.
I jos nesto, rezultat koji si ti dobio je dobar, proverio sam u jednoj zbirci! Ali bi ipak trebalo da razmislis o pojednostavljivanju...

Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.beotel.net

+5 Profil

Re: Nesvojstveni (?) integral

^{05.06.2003. u 09:59 - pre 254 meseci}

Citat iz knjige „Matematička analiza: pregled teorije i zadaci“ od prof. Milana Merklea sa ETF-a (iz 1997., strana 334., odeljak „Smena promenljive“):

Slično sam našao i u knjizi „Kurs differencialьnogo i integralьnogo isčisleniя“ od G.M.Fihtengoljca (G.M.Fihtengolьc), tom 2.

A kada u programu Matematika zadam

dobije se rezultat

. Možda on greši?

Kliknite da vidite kako da pišete matematičke formule u [tex]TeX[/tex]-u bez slanja slika

Odgovor na temu

darkosos
Darko Šoš
Beograd

Član broj: 5053
Poruke: 1131
*.ptt.yu

+64 Profil

Re: Nesvojstveni (?) integral

^{05.06.2003. u 14:29 - pre 254 meseci}

1. Rezultat koji si i ti dobio sam našao u Ljašku.
2. Uz'o sam Math Cad i opet dobio isto...
3. Čak i ako bi prihvatili da fi mora da bude iz meni nepoznatih razloga monotona, to može da se zaobiđe! Osim ako funkcija fi nije totalno luda, postoje intervali monotonosti; razbiješ integral na te intervale, primeniš formulu, pa ih nazad sastaviš. Dakle problem nemonotonosti se može zaobići, pa što bi oko toga lupao glavu. Odnosno što bi svaki put rastavljao integral kad će da funkcioniše i ovako.
4. Probaj ipak moj savet iz prošlog post-a. Pojednostavi funkciju, uvedi prvo smenu 4x = t, pa onda furaj tan. Jasno je da funkcija u smeni mora da ima izvod u intervalu integracije a samim tim i da je neprekidna na njemu. Može to i sa slabijim pretpostavkama, ali je ovo dovoljno za standardne zadatke.

Odgovor na temu

Cabo
Lokanje u bircuzu

Član broj: 10942
Poruke: 684
*.beotel.net

+5 Profil

Re: Nesvojstveni (?) integral

^{08.06.2003. u 21:03 - pre 254 meseci}

Da, izgleda da je to greška u programu Matematika koji ja koristim.

Kada zadam numeričku integraciju (funkcija

Code:
NIntegrate[]

), daje

, a sa običnom integracijom (funkcija

Code:
Integrate[]

) daje

.

Hvala na pomoći!

Kliknite da vidite kako da pišete matematičke formule u [tex]TeX[/tex]-u bez slanja slika

Odgovor na temu