Evo i jedno moje rijesenje, nisam crtao jer ne vijerujem u dokaze sa crteza, ali sam sve detaljno pokazao tako da se moze rekonstruisati na osnovu toga. Samo da napomenem da sam u sred ispitnog roka i da mi je ovaj zadatak oduzeo poprilicno vremena, tako da ste vi krivi ako padnem ispit ;)
Ideja je da dokazem da ce SFERE K[M,MD] i K'[N,NB] imati zajednicki presijek, a to povlaci da uzimajuci proizvoljnu tacku presijeka ove dvije sfere (Z) i spajajuci je sa M i D dobijamo trougao MNZ cije su duzine upravo MZ=MD, NZ=NB i MN=MN.
Da imaju zajednicki presijek cemo pokazati tako sto dokazemo da je MD=>MB tada (zatvorena) lopta odredjena sa K sadrzi tacku B a (zatvorena) lopta odredjena sa K' po definiciji sadrzi tacku B dakle imaju zajednicki presijek.
Dakle poenta je dokazati da je MD=>MB.
Posmatrajmo sada konveksni prostorni odredjen sa dvije ravni P i Q koje su (respektivno) odredjene tackama ABC i ADC.
Neka je a presijecna prava ravni P i Q tj prava odredjena tackama A i C.
Neka je a' prava ravni P koja je paralalna sa a i sadrzi tacku B.
Neka je R ravan odredjena sa pravom a' i tackom D.
Sada imamo 3 slucaja:
1. Bar jedna tacka, ne umanjujuci opstost neka to bude M, se nalazi u zatvorenoj poluravni ravni P u kojoj se NE nalaze tacke A i C a na cijoj se granici nalazi tacka B.
2. Bar jedna tacka, ne umanjujuci opstost neka to bude M, se nalazi u "traci" koja pripada ravni P, a odredjena je sa pravom a i a'
3. Obadvije tacke se nalaze u poluravnima koje su preostale kada iskljucimo prva 2 slucaja.
Rijesenje prvog slucaja:
Ako je tako onda je ugao DBM ocigledno tup (u najgorem slucaju prav) pa je stranica naspram njega najduza stranica trougla MDB tj MD>DB i ono sto smo htijeli da dokazemo: MD=>MB.
Dakle prvi slucaj je dokazan.
U drugom slucaju, neka je M proizvoljna tacka iz "trake". Neka je F srediste AC. Sada je trougao DFB jednakokraki pri cemu su DF i BF visine stranica tetraedra a DB stranica tj. DB>DF i DB>BF. Neka je M' normalna projekcija tacke M na duz FB. Sada treba pokazati da je MD>MB. Posmatrajmo trouglove MM'D i MM'B oba su pravougla i imaju zajednicku stranicu MM'. Ako pokazemo da je M'D>M'B onda iz toga slijedi da je i MD>MB. Da bi smo to pokazali Posmatrajmo jednakokraki trougao DFB. Tacka M'se nalazi na duzi FB. Kako se M' nalazi na duzi FB ugao M'FB je manji od ugla M'BF pa kako se naspram veceg ugla nalazi veca stranica to je M'D>M'B te je, na osnovu razmatranja sa pocetka, i drugi slucaj (do duse "na silu") dokazan.
A u trecem slucaju cemo pokazati da obadvije kugle (odredjene sa K i K') sadrze tacku F koja je srediste stranice AC. Neka je M proizvoljna tacka iz treceg slucaja. Uocimo trougao MFD. Ugao kod tijemena F je veci ili jednak od 120 stepeni te je stranica naspram njega, ocigledno, najduza tj MD>MF slijedi F pripada K. Potpuno analogno se pokazuje da F pripada K' te Sfere K i K' imaju zajednicki presijek cime je dokazan i treci slucaj.
Pozdrav.
Reko mi tvoj brat da studiras za programatora!
Re: [Zadatak]: Nešto potpuno apstraktno
