[es] - Parametarski nesvojstveni integral

Sonec

Član broj: 284879
Poruke: 892

+332 Profil

Parametarski nesvojstveni integral

^{19.05.2012. u 14:31 - pre 158 meseci}

Interesuje me da li sam dobro resio sledeci zadatak:
Izracunati

.

Resenje. Neka je

. Dodefinisimo funkciju

tako da ona bude neprekidna (na zadatim intervalima):

Dalje,

, ali kako vazi i za

, to mozemo reci da vazi za

.
Dakle,

, tj. funkcija

je neprekidna.
Dalje, treba pokazati da

, odnosno

ravnomerno konvergira po

.
Za

vazi

(sto (ogranicenje) ne zavisi od

), a kako

(odnosno konvergira), to prema Vajerstrasovoj teoremi i

ravnomerno konvergira za

. (ako se ne bismo malo odmakli od nule, imali bismo problem ako hocemo da pokazemo preko Vajerstrasa, jer bi jedino mogli da kazemo da

, a integral

divergira, pa ne mozemo preko Vajerstrasa)

Dalje, moze se pokazati da

ravnomerno konvergira po

. Naime,

konvergira (u 0 je limes 1, u beskonacnosti Dirihle), a kako ne zavisi od parametra

on i ravnomerno konvergira po

. Dalje, funkcija

funkcija

je opadajuca (po

). Pa su ispunjeni uslovi Abelove teoreme i mozemo reci da

ravnomerno konvergira po

. (primetimo da za uslov teoreme (koja sledi) nam nije potrebno da

ravnomerno konvergira po

, vec je dovoljno da

konvergira za bar jedno

(sto i vazi, cak konvergira i u svim kao sto je upravo pokazano), ali da ce nam kasnije zatrebati ova osobina funkcije

)

Prema jednoj od teorema (ciji su uslovi provereni u prethodnom delu) vazi

. Dakle, za

vazi

, integral se resava posle dve parcijalne (mozemo reci za

jer je

bilo proizvoljno (naravno, takvo da vazi

))

Odnosno, dobijamo da je

mozemo naci iz

, jer je za

. Dakle, dobijamo da vazi

, odnosno

.

E sad, treba izracunati integral i za

.

To bi moglo ovako,

ravnomerno konvergira po

, a

je neprekidna na

, tako da prema jednoj od teorema vazi i da je

neprekidna na

, pa vazi

. Pa vazi (kada se sve sklopi) da je

.

Odavde se moze videti i da je Dirihleov integral

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8712
*.3gnet.mts.telekom.rs.

+2802 Profil

Re: Parametarski nesvojstveni integral

^{19.05.2012. u 21:08 - pre 158 meseci}

Sjajno. Tako se radi analiza 2. Nemoj da nisi dobio 10, uši ću da ti iščupam!

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8712
*.3gnet.mts.telekom.rs.

+2802 Profil

Re: Parametarski nesvojstveni integral

^{19.05.2012. u 22:55 - pre 158 meseci}

Imam jednu primedbu. Iz ravnomerne konvergencije na

za svako

ne sledi ravnomerna, već lokalno ravnomerna konvergencija na

, a uz konvergenciju u nuli i lokalno ravnomerna konvergencija na

. No, za razmatranje lokalnih osobina kao što su neprekidnost i diferencijabilnost, to je dovoljno.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Sonec

Član broj: 284879
Poruke: 892

+332 Profil

Re: Parametarski nesvojstveni integral

^{19.05.2012. u 23:14 - pre 158 meseci}

Da, da, vidim sta hoces da kazes. Meni je isto taj deo bio malo sumnjiv, osecao sam da nesto fali, ali nisam mogao da vidim sta. Moram takodje priznati da se do sada nisam cesto susretao sa terminom lokalne ravnomerne konvergencije (i slicno), mislim prvenstveno na vezbe, za predavanje to ne mogu reci, jer obicno se sve svodi na ispitivanje neprekidnosti i diferencijabilnosti, tako da se cak, usudio bih se reci, ti pojmovi uzimaju kao "ekvivalentni". Hvala na tome i na proveri resenja.

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Odgovor na temu