Trigonometrijska supstitucija (integral)

Trigonometrijska supstitucija (integral) 18.10.2011. u 17:35 · pre 183 meseca #1

Molim Vas za pomoć oko ovoga zadatka:

integral x^3 / [ 2-x^2]

Trebam ga riješiti trigonometrijskom supstitucijom, a nikako da dobijem tačan rezultat.

Unaprijed VELIKO HVALA!!!!

Re: Trigonometrijska supstitucija (integral) 18.10.2011. u 18:26 · pre 183 meseca #2

Smena $x=\sqrt{2} \sin(t)$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Trigonometrijska supstitucija (integral) 18.10.2011. u 21:28 · pre 183 meseca #3

Hvala na brtom odgovoru.

Nadam se da mi možeš pomoći još malo.

Uradio sam ovo:

integral [sqrt(2)^3 * sin^3 t * sqrt(2) * cos t] / [sqrt(2) * cos t]

Pokratio sam sqrt(2) * cos t

Tako da mi je ostalo:

integral sqrt(2)^3 * sin t

sqrt(2)^3 integral sin^3 t = sqrt(2)^3 integral sin t * sin^2 t = sqrt(2)^3 integral sin t (1-cos^2 t) // u=cos t , du=-sin t , -du=sin t

-sqrt(2)^3 integral 1-u^2 = -sqrt(2)^3 * (u - u^3/3) = -sqrt(2)^3 (cos t - cos^3 t/3) = -sqrt(2)^3 * cos t + (sqrt(2) * cos t)^3

E sad ako sam dobro uradio možeš li mi objasniti šta ide dalje.

Hvala.

Re: Trigonometrijska supstitucija (integral) 18.10.2011. u 21:39 · pre 183 meseca #4

Cek Srdjane, jel ta smena ide valjda za:
$\int {{\hbox{d}x} \over {\sqrt{a^2-x^2}}}$ ,smenom $x=a\sin(t)$

$\int{\frac{x^3}{2-x^2}}\hbox{d}x=-\int{\left(x+\frac{2x}{x^2-2}\right)}\hbox{d}x=-\frac{x^2}{2}-\log(x^2-2)+C$

EDIT: tek sad videh da treba preko trigonometrije da se resi, tako da ovo nista ne vazi, a da onda Srdjanova smena prolazi

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

1

Re: Trigonometrijska supstitucija (integral) 18.10.2011. u 21:43 · pre 183 meseca #5

Aj da uradim, kad sam dokon, a pivo ces dati drugi put.

$I=\int \frac{x^3}{2-x^2} \, dx$

Smena:
$x=\sqrt{2}\sin (t), \text{dx}=\sqrt{2}\cos (t)\text{dt}, t=\arcsin \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$

$I=\int \frac{2\sqrt{2}\sin ^3(t)}{2-2\sin ^2(t)}\sqrt{2}\cos (t)\text{dt}=2\int \frac{\sin ^2(t)\sin (t)}{1-\sin ^2(t)}\cos (t)\text{dt}=2\int \frac{1-\cos ^2(t)}{\cos (t)}\sin (t)dt=2\int \frac{\sin (t)}{\cos (t)}\text{dt}-\int \sin (2t)dt=-2\ln |\cos (t)|+\frac{\cos (2t)}{2}$

$\cos(t)=\cos(\arcsin \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right))$

$\cos(\arcsin (x))=?$

$\cos(\arcsin (x))=\sqrt{1-x^2}$

$\cos \left(\arcsin \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)=\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}$

$\cos(2t)=\cos(2\arcsin \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right))$

$\cos (2x)=2\cos ^2(x)-1$

$\cos (2\arcsin (x))=1-2x^2$

$\cos \left(2\arcsin \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)=1-x^2$

Upotrebiš ovo sve i konačno:

$I=-2\ln \left|\frac{\sqrt{2-x^2}}{\sqrt{2}}\right|+\frac{1-x^2}{2}=-\ln \left|x^2-2\right|-\frac{x^2}{2}+C$

Napomena:

Ove smene se koriste kad je integral lakše rešiti preko njih.

Ovde je komplikovanije rešavanje preko njih, pa je ono rešenje što je sonec napisao najbolje, ali evo ti i ovako.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

arc.JPG9.49k

1

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme