Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA)

Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 16.04.2012. u 12:08 · pre 176 meseci #1

Treba izračunati sledeću sumu:

$\math S_n=\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)(_{k}^{n})$ , n prirodan broj.
Pokušao sam sa razvijanjem ovog n nad k, ali ništa nije pomoglo.

Drugo pitanje: Da li može kub nekog prirodnog broja biti kvadrat nekog drugog prirodnog broja? Tj, može li da bude $a^2=b^3$ za prirodne brojeve a i b veće od 1 i međusobno različite? Meni intuitivno deluje da ne može, ali treba mi dokaz (ili kontraprimer :) )

Unapred hvala!

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 16.04.2012. u 13:12 · pre 176 meseci #2

$a^2 = b^3 \Rightarrow a=\sqrt{b^3} \Rightarrow a=b\sqrt{b}$ Dakle, po ovom, mora biti zadovoljen uslov $a,b,\sqrt{b}\in N$ Primer, $b=4, a=8$

Iz ovoga se ustvari uočava da $a$ i $b$ moraju biti stepeni sa zajedničkom osnovom, a izložiocima zamenutim u odnosu na početni zadatak, $a=2^3, b=2^2$ , pa kad se to uvrsti, bude $(2^3)^2=(2^2)^3 \Rightarrow 2^6=2^6$

$a=b\sqrt{b} \Rightarrow \sqrt{b}=x^2$
$a=x^2\cdot x$
$a=x^3$
$b=x^2$
$x\in N$

_{[Ovu poruku je menjao lonelyrider_44 dana 16.04.2012. u 14:52 GMT+1]}

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 16.04.2012. u 15:50 · pre 176 meseci #3

Hvala puno, razumeo .

Sad si me ovim odgovorom bacio na muke dodatno. Naime, moj zadatak je bio da ustanovim koliko ima brojeva od 1 do $10^6$ koji nisu ni potpuni kvadrati, ni kubovi, ni četvrti stepeni nekog prirodnog broja. Ideja mi je bila da prebrojim one koji jesu bar nešto od toga, pa da oduzmem. E sad, čini mi se da je skup "četvrtih stepena" podskup "potpunih kvadrata", a u početku sam mislio da su potpuni kvadrati disjunktni (osim jedinice) sa kubovima. Sad si me demantovao, pa pomozi da razgraničim i to

Dakle, treba mi broj elemenata unije ova tri skupa ali mi problem prave preseci.

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 16.04.2012. u 18:22 · pre 176 meseci #4

Ne znam da li je moguće tako rešiti kako ti želiš , mi smo imali skoro isti ovakav zadatak iz kombinatorike i treba da se koristi "Formula uključenja-isključenja". Dakle, ako ste učili tu formulu, onda koristi to...

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 16.04.2012. u 19:31 · pre 176 meseci #5

Ako ti nije problem, napiši reč-dve o rešenju.
Po formuli uključenja-isključenja, trebaće mi kardinalnosti preseka, a do tih brojeva ne umem da dođem

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 16.04.2012. u 20:32 · pre 176 meseci #6

Ovaj zadatak sa sumom se radi drugačije.

$x^2(1+x)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^{k+2}$
$(x^2(1+x)^n)'''=\sum_{k=0}^n{n\choose k}k(k+1)(k+2)x^{k-1}$

Izračunaj levu stranu i dobićeš identitet koji je tačan za svako $x$ . Na kraju zameni $x$ sa 1.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 16.04.2012. u 20:39 · pre 176 meseci #7

Uočiš sledeće skupove:

$S$ - skup brojeva od 1 do $10^6$ - imaš $10^6$ komada
$S_1$ - potpuni kvadrati: $1^2, 2^2,..., (10^3)^2$ - imaš $10^3$ komada
$S_2$ - potpuni kubovi: $1^3, 2^3,..., (10^2)^3$ - imaš $10^2$ komada
$S_3$ - četvrti stepen: to je podskup od $S_1$

Ubacis u formulu: $N(\overline{S_1}\cap\overline{S_2}\cap\overline{S_3})=N(S)-N(S_1)-N(S_2)-N(S_3)+N(S_1\cap\ S_2)+N(S_1\cap\ S_3)+N(S_2\cap\ S_3)-N(S_1\cap S_2\cap S_3)$

Nadam se da nigde nisam pogrešio :)

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 16.04.2012. u 21:59 · pre 176 meseci #8

Da se nadovežem, onda bi $N(S_1\cap S_2)$ bio skup šestih stepena. ( $(x^2)^3=(x^3)^2$ )

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 16.04.2012. u 23:33 · pre 176 meseci #9

Smem li da pitam šta pokušavate sa tom formulom uključivanja-isključivanja? Kakve to ima veze sa postavljenim pitanjima? Za red sam napisao kako se sumira, a prirodan broj je potpuni $k_i$ -ti stepen za svako $i\in\{1,\dots,n\}$ akko je potpuni $k$ -ti stepen za $k=NZS(k_1,\dots,k_n)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 17.04.2012. u 14:32 · pre 176 meseci #10

Citat:

elementarna.nepogoda:

Nedeljko, hoćeš da kažeš da se u preseku kvadrata i kubova zapravo nalaze šesti stepeni ? :)

Citat:

lonelyrider_44: Da se nadovežem, onda bi $N(S_1\cap S_2)$ bio skup šestih stepena. ( $(x^2)^3=(x^3)^2$ )

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 17.04.2012. u 14:32 · pre 176 meseci #11

hvala na pomoći, u pravu si

Pomoc za jos jednu sumu :) 20.04.2012. u 23:19 · pre 176 meseci #12

Jos samo ovo :)

Izracunati sumu:
$S_n=\frac{2^2}{2} {n\choose 1}+\frac{2^3}{3} {n\choose 2}+\frac{2^4}{4} {n\choose 3}+...+\frac{2^{n+1}}{n+1} {n\choose n}$

Pokusao sam da je ovo jednako
$2\sum_{k=1}^n \frac{2^k}{k+1} {n\choose k}$

Onda sam primetio da je $3^n=(1+2)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} 2^k$ i da je za k=0 clan sume jednak 1, ali to izgleda ne vodi do resenja zbog k+1 koje deli svaki sabirak, pa ne mogu ovo da iskoristim :(
Ako moze pomoc...

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 21.04.2012. u 00:32 · pre 176 meseci #13

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{2^{k+1}}{k+1} {n\choose k} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^n \frac{2^{k+1} (n+1)n!}{(k+1)k!(n-k)!} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^n 2^{k+1} {n+1\choose k+1} = \frac{1}{n+1}\left ( \sum_{k=0}^n 2^{k+1} {n+1\choose k+1} - 2(n+1)\right) = \frac{1}{n+1} \biggl(3^{n+1}-1 -2n -2\biggr) = \frac{3^{n+1} -2n -3}{n+1}$

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 21.04.2012. u 07:35 · pre 176 meseci #14

Hvala puno. Sve je jasno osim jednog detalja:

Citat:

$\frac{1}{n+1} \biggl(3^{n+1}[-1] -2n -2\biggr)$

Odakle ovo -1 sto sam stavio u zagradu ?

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 21.04.2012. u 08:54 · pre 176 meseci #15

Može na prethodnu foru

$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{x^{k+1}}{k+1}{n\choose k}$
$S_n=f(2)-2$
$f'(x)=(1+x)^n$
$f(0)=0$
$f(x)=f(0)+\int_0^x(1+t)^n\,dt=\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}-\frac 1{n+1}$
$f(2)=\frac{3^{n+1}-1}{n+1}$
$S_n=\frac{3^{n+1}-2n-3}{n+1}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 21.04.2012. u 09:22 · pre 176 meseci #16

Pa hajde da raspisemo ovu sumu $\sum_{k=0}^n 2^{k+1} {n+1\choose k+1}$

Dakle, $\sum_{k=0}^n 2^{k+1} {n+1\choose k+1} = 2^1 {n+1\choose 1} + 2^2 {n+1 \choose 2} + 2^3 {n+1 \choose 3} +\cdots + 2^{n} {n+1 \choose n} + 2^{n+1} {n+1 \choose {n+1}} = \left(2^0 {n+1 \choose 0}+2^1 {n+1\choose 1} + 2^2 {n+1 \choose 2} + 2^3 {n+1 \choose 3} +\cdots + 2^{n} {n+1 \choose n} + 2^{n+1} {n+1 \choose {n+1}}\right) - 2^0 {n+1 \choose 0} = (1+2)^{n+1} - 1 = 3^{n+1} -1$

Ova suma bi mogla i lepse da se vidi (jer fakticki, u prethodnom slucaju nam je $k$ islo od $k=-1$ za $3^{n+1}$ (sto je malo "ruzno")), ako bismo izvrsili pomeranje indeksa sumacije (najobicnija linearna smena za granice), i tada bi $\sum_{k=0}^n 2^{k+1} {n+1\choose k+1} = \sum_{k=1}^{n+1} 2^{k} {n+1\choose k}$ , i tada se ponovi isti argument.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 21.04.2012. u 20:28 · pre 176 meseci #17

$Zahvaljujem. Sada je jasnije.$

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 02.05.2012. u 23:53 · pre 176 meseci #18

imam novi problem.
Koliko ima n-tocifrenih brojeva sa zbirom cifara 11 ?
Jedino sto znam je da se 11 moze zapisati sa najmanje dve a najvise 11 cifara ali problem su i nule kojih moze biti koliko hoces... Takodje mogu biti i na pocetku broja, sto unosi dodatnu zabunu. Molio bih za pomoć

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 03.05.2012. u 08:06 · pre 176 meseci #19

Kako na pocetku broja? 003 je trocifren broj? Pa onda je i stocifren :) Ako se trazi tako nesto onda je pogresno reci n-tocifren broj, mozda uredjena n-torka cifara ili slicno...

Re: Dva pitanja, jedno bez ideje :( (SUMA) 03.05.2012. u 10:42 · pre 176 meseci #20

Neka je $S$ skup resenja jednacine $x_1+x_2+\cdots+x_n=11$ u skupu $\bf{N}_0$ . Neka su $A$ , $B$ i $C$ redom skupovi onih resenja iz $S$ za koje vaze uslovi: (a) $x_1=0$ ; (b) jedan od brojeva $x_1,x_2,\dots,x_n$ jednak je 11; (c) jedan od brojeva $x_1,x_2,\dots,x_n$ jednak je 10. Tada je $\input amstex |S|=\binom {n+10} {11}, ~ |A|=\binom{n+9}{11},~|B|=n,~|C|=n(n-1),~|A\cap B|=n-1,~|B\cap C|=0, |C \cap A|=(n-1)(n-2)$ . Trazeni broj jednak je
$\input amstex |S \setminus (A \cup B \cup C)| = |S|-|A|-|B|-|C|+|A \cap B| +|B \cap C| + |C \cap A| - |A \cap B \cap C| = \binom{n+9}{10}-2n+1.$

Resenje je uzeto iz Kombinatorike (glava 4, zadatak 6) Pavla Mladenovica.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Srodne teme