Cassey je dokazao ovo ali je njegov dokaz nažalost izgubljen prilikom kraha baze. Svejedno, dokazaću opštije tvrđenje.
Za svako
i niz pozitivnih realnih brojeva
važi sledeća nejednakost:
Dokazujemo inducijom po
.
Za
treba dokazati
Logaritmujući dobijamo da je ova nejednakost ekvivalentna sa
odnosno
što se može zapisati kao
Deljenjem sa
vidimo da je ovo ekvivalentno sa
Uvedimo smene
,
. Očigledno je
. Nejednakost se svodi na
što je ekvivalentno sa
(znak se promenio jer je
negativno).
Posmatrajmo funkciju
Prvi izvod te funkcije je
Imenilac ovog razlomka je očigledno pozitivan. Predstavimo brojilac kao funkciju
Prvi i drugi izvod su
Funkcija
ima u tački
prvi izvod jednak
, a pošto je drugi izvod pozitivan sledi da u tački
funkcija
ima minimum. Pošto je
zaključujemo da je funkcija
nenegativna, a samim tim je i
nenegativna, pa je funkcija
rastuća. Pošto je
sledi da je i
, čime je baza indukcije dokazana.
Pretpostavimo sada da tvrđenje važi za niz od
brojeva, tj. da za
važi
Za
na osnovu baze indukcije imamo
Množeći ove dve relacije dobijamo
iz čega sledi
Ovim je dokaz završen.
Polazni zadatak očigledno je specijalan slučaj dokazanog tvrđenja za
.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
Mnogo lepa nejednakost
, dokazati da vazi sledeca nejednakost:
.
