Mnogo lepa nejednakost

Mnogo lepa nejednakost 09.06.2005. u 21:23 · pre 260 meseci #1

Ako je $0<a\leq b\leq c\leq d$ , dokazati da vazi sledeca nejednakost:

$a^bb^cc^dd^a\geq b^ac^bd^ca^d$ .

Re: Mnogo lepa nejednakost 19.06.2005. u 13:45 · pre 260 meseci #2

Cassey je dokazao ovo ali je njegov dokaz nažalost izgubljen prilikom kraha baze. Svejedno, dokazaću opštije tvrđenje.

Za svako $n\geq 3$ i niz pozitivnih realnih brojeva $x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n$ važi sledeća nejednakost:
$x_1^{x_2}x_2^{x_3}\cdots x_n^{x_1}\geq x_2^{x_1}x_3^{x_2}\cdots x_1^{x_n}$

Dokazujemo inducijom po $n$ .

Za $n=3$ treba dokazati
$x_1^{x_2}x_2^{x_3}x_3^{x_1}\geq x_2^{x_1}x_3^{x_2}x_1^{x_3}$
Logaritmujući dobijamo da je ova nejednakost ekvivalentna sa
$x_2\ln x_1+x_3\ln x_2+x_1\ln x_3\geq x_1\ln x_2+x_2\ln x_3+x_3\ln x_1$
odnosno
$x_1(\ln x_3-\ln x_2)+x_2(\ln x_1-\ln x_2)\geq x_3(\ln x_1-\ln x_2)+x_2(\ln x_3-\ln x_2)$
što se može zapisati kao
$x_1\ln\frac{x_3}{x_2}+x_2\ln\frac{x_1}{x_2}\geq x_3\ln\frac{x_1}{x_2}+x_2\ln\frac{x_3}{x_2}$
Deljenjem sa $x_2$ vidimo da je ovo ekvivalentno sa
$\frac{x_1}{x_2}\ln\frac{x_3}{x_2}+\ln\frac{x_1}{x_2}\geq\frac{x_3}{x_2}\ln\frac{x_1}{x_2}+\ln\frac{x_3}{x_2}$
Uvedimo smene $a=\frac{x_1}{x_2}$ , $b=\frac{x_3}{x_2}$ . Očigledno je $a\leq 1\leq b$ . Nejednakost se svodi na
$a\ln b+\ln a\geq b\ln a+\ln b$
što je ekvivalentno sa
$\frac{a-1}{\ln a}\leq\frac{b-1}{\ln b}$
(znak se promenio jer je $\ln a$ negativno).
Posmatrajmo funkciju
$f(t)=\frac{t-1}{\ln t}$
Prvi izvod te funkcije je
$f'(t)=\frac{t\ln t+1-t}{t\ln^2t}$
Imenilac ovog razlomka je očigledno pozitivan. Predstavimo brojilac kao funkciju
$g(t)=t\ln t+1-t$
Prvi i drugi izvod su
$g'(t)=\ln t$
$g''(t)=\frac 1 t$
Funkcija $g(t)$ ima u tački $t=1$ prvi izvod jednak $0$ , a pošto je drugi izvod pozitivan sledi da u tački $t=1$ funkcija $g(t)$ ima minimum. Pošto je $g(1)=0$ zaključujemo da je funkcija $g(t)$ nenegativna, a samim tim je i $f'(t)$ nenegativna, pa je funkcija $f(t)$ rastuća. Pošto je $a\leq b$ sledi da je i $f(a)\leq f(b)$ , čime je baza indukcije dokazana.

Pretpostavimo sada da tvrđenje važi za niz od $k$ brojeva, tj. da za $0<x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_k$ važi
$x_1^{x_2}x_2^{x_3}\cdots x_k^{x_1}\geq x_2^{x_1}x_3^{x_2}\cdots x_1^{x_k}$
Za $x_{k+1}\geq x_k$ na osnovu baze indukcije imamo
$x_1^{x_k}x_k^{x_{k+1}}x_{k+1}^{x_1}\geq x_k^{x_1}x_{k+1}^{x_k}x_1^{x_{k+1}}$
Množeći ove dve relacije dobijamo
$x_1^{x_2}x_2^{x_3}\cdots x_k^{x_1}\cdot x_1^{x_k}x_k^{x_{k+1}}x_{k+1}^{x_1}\geq x_2^{x_1}x_3^{x_2}\cdots x_1^{x_k}\cdot x_k^{x_1}x_{k+1}^{x_k}x_1^{x_{k+1}}$
iz čega sledi
$x_1^{x_2}x_2^{x_3}\cdots x_{k+1}^{x_1}\geq x_2^{x_1}x_3^{x_2}\cdots x_1^{x_{k+1}}$
Ovim je dokaz završen.

Polazni zadatak očigledno je specijalan slučaj dokazanog tvrđenja za $n=4$ .

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Mnogo lepa nejednakost 22.06.2005. u 21:41 · pre 260 meseci #3

Evo i moje verzije (ovo je samo copy/paste iz moje knjizice uz male izmene i nisam proveravao ispravnost, pa me upozorite ako ima gresaka):

Ako je funkcija $f$ konkavna na intervalu $I$ , a $x, y$ i $z$ ( $x\leq y\leq z$ ) brojevi iz tog intervala, onda je: $(y-z)f(x)+(z-x)f(y)+(x-y)f(z)\geq 0.\eqno(1)$ Zaista, ako je $=y=z$ , jasno je da vazi jednakost. Pretpostavimo da je $x\neq z$ . Prema definiciji konkavnosti, nejednakost $f(\lambda_1x+\lambda_2z)\geq\lambda_1f(x)+\lambda_2f(z)$
vazi za svaka dva broja $\lambda_1,\lambda_2\geq 0$ , $\lambda_1+\lambda_2=1$ . Za $\lambda_1=\frac{z-y}{z-x}$ i $\lambda_2=\frac{y-x}{z-x}$ ova nejednakost postaje: $f(y)\geq\frac{z-y}{z-x}f(x)+\frac{y-x}{z-x}f(z).$ Odatle sledi (1). Logaritamska funkcija $\ln$ je konkavna na intervalu $(0,+\infty)$ . Zato za brojeve $x,y$ , i $z$ koji zadovoljavaju nejednakosti $0<x\leq y\leq z$ vazi: $(y-z)\ln x+(z-x)\ln y+(x-y)\ln z\geq 0.$ Jednostavnim transformacijama dobijamo nejednakost $\ln x^yy^zz^x\geq\ln y^xz^yx^z$ . Sledi da je $x^yy^zz^x\geq y^xz^yx^z$ . Ako brojeve $x, y$ i $z$ zamenimo sa $a, b$ i $c$ , odnosno $a, c$ i $d$ , dobicemo nejednakosti $a^bb^cc^a\geq b^ac^ba^c$ i $a^cc^dd^a\geq c^ad^ca^d$ . Njihovim mnozenjem dobija se da je $a^bb^cc^aa^cc^dd^a\geq b^ac^ba^cc^ad^ca^d$ , odakle sledi: $a^bb^cc^dd^a\geq b^ac^bd^ca^d.$

Re: Mnogo lepa nejednakost 23.06.2005. u 01:39 · pre 260 meseci #4

Dobro je, samo nisam razumeo kakvu knjižicu pominješ (hoćeš da kažeš da pišeš knjigu ili sam ja pogrešno rastumačio :)? Je li dokaz tvoj originalan?

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Mnogo lepa nejednakost 23.06.2005. u 15:23 · pre 260 meseci #5

Dokaz nije moj, vec sam ga nasao u longlistu iz godine kada je Beograd bio domacin Olimpijade. A sto se tice moje knjizice, u nju stavljam najinteresantnije zadatke, teoreme i slicne stvari, ali samo one koje se ne nalaze u nekim od knjiga koje posedujem. Uglavnom su to stvarcice sa ES-a, iz nekih casopisa, interneta i slicno (tek da imam sve to na jednom mestu). Tek sam poceo da je pisem, pa ima samo oko 40 strana, ali ce vrlo brzo biti dopunjena sa puno informacija. Mogu ti poslati $\TeX$ source, ili PDF ako te interesuje.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme