Mnogougao i dijagonale

Mnogougao i dijagonale 03.06.2025. u 23:28 · pre 17 meseci #1

Postoji pravilan mnogougao A1, A2, A3 .. An-1, An. Ugao A3A1A4 iznosi 6 stepeni.

1.) Koliko takav mnogougao ima dijagonala?
2.) Koliki je zbir svih unutrašnjih i svih spoljašnjih uglova tog mnogougla?
3.) Ukoliko se povuku sve dijagonale iz jednog temena, i na taj način mnogougao podeli na trouglove, svaki takav trougao umnožen više puta može da posluži za formiranje svojevrsnog torusa, tako da se trouglovi nikad ne preklapaju. A ako je mnogougao sa neparnim brojem temena, te postoji centralni takav trougao, onda se ređanjem takvog umnoženog trougla, u krug dobija novi mnogougao, a da se trouglovi nikad ne preklope.

1.) Je međuopštinsko 1997 za 7 razred osnovne 2.) Sam ja izmislio 3.) Viđeno na internetu

Ilustracija uz 3.)

mnogougao.jpg43.92k

Re: Mnogougao i dijagonale 08.06.2025. u 13:22 · pre 17 meseci #2

Centralni ugao A3-O-A14 je 11*360°/n. Periferijski A3-A1-A14 je pola od toga. Odatle se lako nađe da je n=330.

Prva dva dela su trivijalna.

Re: Mnogougao i dijagonale 09.06.2025. u 00:10 · pre 17 meseci #3

Nisam siguran da razumem ..

Citat:

miki069: Centralni ugao A3-O-A14 je 11*360°/n.

Ovo hajd u redu valjda ..

Citat:

Periferijski A3-A1-A14 je pola od toga. Odatle se lako nađe da je n=330.

Prva dva dela su trivijalna.

Ovo ne razumem. U knjizi je rešenje da je u pitanju mnogougao sa 30 stranica, i da takav ima 405 dijagonala. I fulao sam koje takmičenje je bilo u pitanju, okružno, a ne međuopštinsko ..

Ilustracija uz prvi zadatak, ugao A3-A1-A4 je 6 stepeni.

mnogougao1.jpg13.33k

Re: Mnogougao i dijagonale 09.06.2025. u 00:42 · pre 17 meseci #4

Majore pročitao sam teme A14 umesto A4.
Tako sam i računao.

Neka je O centar opisane kružnice oko mnogougla.
Centralni ugao A3-O-A4 je 360°/n.
Periferijski ugao, nad istim kružnim lukom, A3-A1-A4 je pola od toga.

Iz jednačine 1/2*(360°/n) = 6° se dobija da je n=30.

Iz svakog od 30 temena konstruišu se duži u ostalih 29 temena.
Ukupno 30*29=870 usmerenih duži (vektora).
Od toga su 30*2= 60 vektori stranica.
Ostaje 870-60=810 vektora dijagonala.
Pošto dijagonala nije vektor, nego duž, broj dijagonala je
1/2*810 = 405.

Re: Mnogougao i dijagonale 09.06.2025. u 01:10 · pre 17 meseci #5

Sve jasno, ja nisam umeo da rešim, a u knjizi je neko komplikovano rešenje gde su docrtavali duž A4-A2, a unutrašnji ugao mnogougla imenovali 2alfa itd .. ti si rešio mnogo jednostavnije. Svaka čast!

Re: Mnogougao i dijagonale 09.06.2025. u 13:49 · pre 17 meseci #6

2) Zbir svih unutrašnjih uglova je (30-2)*180 stepeni, a zbir svih spoljašmjih je 360 stepeni.

3) Nije mi baš sve jasno.

Re: Mnogougao i dijagonale 09.06.2025. u 19:01 · pre 17 meseci #7

Citat:

miki069: 2) Zbir svih unutrašnjih uglova je (30-2)*180 stepeni, a zbir svih spoljašmjih je 360 stepeni.

Jest, a pošto je 360 baš 2 x 180 mislio sam da se sve smandrlja u zbir svih unutrašnjih i spoljašnjih uvek: n x 180 :) Ne verujem da će koristiti u zadacima ..

Citat:

3) Nije mi baš sve jasno.

Ni meni, ako se n-tougao podeli dijagonalama iz jednog temena na troglove, uvek ih je moguće spakovati u torus, ili novi n-tougao ...

Re: Mnogougao i dijagonale 24.06.2025. u 21:59 · pre 16 meseci #8

3.) Pošto treći deo zadatka nije precizno formulisan, predlažem rešenje zasnovano na pretpostavci da je treća figura na slici u uvodnoj poruci dvodimenzionalna figura, prsten određen sa dva pravilna mnogougla. Možda je moguće od dijagonalnih trouglova pravilnog mnogougla sastaviti i telo koje podseća na torus ( torus je trodimenzionalno telo ), ali bi takva varijanta zadatka bila teža, samim tim i „rekonstrukcija“ zadatka, ako nije precizno formulisan, bila teža.

Ako spojimo dva susedna temena pravilnog n-tougla sa središtem kružnice opisane oko tog n-tougla dobijamo karakteristični trougao tog pravilnog n-tougla. Ugao naspram osnovice a tog jednakokrakog trougla, odnosno centralni ugao opisane kružnice nazovimo centralnim uglom pravilnog n-tougla i obeležimo sa $2\delta$ , pa je $2\delta={360^o \over n}$ . Unutrašnji ugao n-tougla obeležimo sa $\beta_0$ . Mera tog ugla je $\beta_0 = 180^o-2\delta$ . Pošto su ti uglovi suplementni sledi da je spoljašnji ugao pravilnog n-tougla jednak centralnom uglu tog pravilnog n-tougla.
Konstruišimo sve dijagonale koje sadrže teme $A_1$ (ima ih ukupno n-3), a onda konstruišimo i osu simetrije pravilnog n-tougla kroz tačku $A_1$ . Ako je n neparan broj, broj dijagonala je paran i svaka dijagonala ima tačno jednu osno simetričnu dakle podudarnu dijagonalu. Ako je n paran broj, broj dijagonala je neparan, pa osim parova simetričnih dijagonala postoji jedna koja leži na osi simetrije i ona nema simetričnu dijagonalu. To je najduža dijagonala koja je jednaka prečniku opisane kružnice. Stranicu a, zbog formula koje ćemo koristiti, obeležimo i sa $d_0$ . Dijagonale obeležimo sa $d_{k-1}=A_1A_{k+1}=A_1A_{n+1-k}$ gde je prirodan broj $k \le \left\lfloor {{n-1} \over 2}\right\rfloor$ . Ako je n paran broj, imamo i najdužu dijagonalu $d_{{n-2} \over 2} =A_1A_{{n+2} \over 2}$ .
Ovim dijagonalama je pravilan n-tougao podeljen na n-2 trougla, koji kod temena $A_1$ imaju ugao sa merom $\delta$ ( Miki je to objasnio). Zbog podudarnosti simetričnih trouglova, prilikom rešavanja zadatka razmotrimo samo „polovinu“ trouglova.

Neka je broj temena n, neparan broj. Uočimo trougao određen sa dve najduže, jednake dijagonale.
Ako od trouglova podudarnih sa uočenim trouglom, „pravimo“ pravilan m-tougao, tako da temena naspram osnovica tih jednakokrakih trouglova budu u jednoj tački, a susedni trouglovi imaju zajednički krak, centralni ugao tog m-tougla će biti ugao $\delta$ , ugao koji je polovina centralnog ugla pravilnog n-tougla. Prema tome, da bi ti centralni uglovi formirali pun ugao, odnosno da bi od tih trouglova satavili pravilan m-tougao, treba da ih bude dva puta više nego što je centralnih uglova u pravilnom n-touglu, odnosno mora da bude $m=2n$ .

Proverićemo da li je od tih trouglova moguće „napraviti“ treću, nekonveksnu figuru sa slike iz uvodnog posta. Nazovimo tu figuru pravilan mnogougaoni prsten.
Ugao naspram osnovice tog trougla ima meru $\delta$ . Ugao na osnovici obeležimo sa $\gamma$ , pa je $2 \gamma +\delta =180^o \Leftrightarrow \gamma=90^o-{\delta \over 2}=90^o-{90^o \over n}=90^0 \cdot (1-{1 \over n})$ .
Ako je spoljašnja kontura pravilnog mnogougaonog prstena pravilan m-tougao, ugao suplementan uglu $\gamma +\delta$ , obeležimo ga sa $\omega$ , mora biti jednak centralnom uglu tog pravilnog m-tougla.

Odredimo taj centralni ugao, odnosno ugao $\omega$ .
$\omega =180^o-(\gamma+\delta)= 180^o-(2\gamma+\delta-\gamma)=180^o-(180^o-\gamma) = \gamma = 90^0 \cdot (1-{1 \over n})$ .
Ugao $\omega$ može da bude centralni ugao pravilnog m-tougla ako postoji prirodan broj m, veći od 2, takav da je m-tostruki umnožak tog centralnog ugla, jednak punom uglu:
$m \cdot \omega=360^o \Leftrightarrow m \cdot 90^0 \cdot (1-{1 \over n})=360^o \Leftrightarrow m \cdot (1-{1 \over n})=4 \Leftrightarrow m={4n \over {n-1}}={{4(n-1)+4} \over {n-1}} =4+{4 \over {n-1}}$
gde je n neparan prirodan broj veći od 3. Iz poslednje jednakosti zaključujemo da će m biti prirodan broj samo ako je $n=5$ .
Prema tome od jednakokrakih toruglova određenih sa dve najduže susedne dijagonale u pravilnom n-touglu sa neparnim brojem temena, možemo formirati pravilan mnogougaoni prsten samo ako je n=5. Konture tog prstena su dva pravilna petougla.

Neka je sada n prirodan broj veći od 3 (pošto trougao nema dijagonale).
Označimo uglove trouglova određenih dijagonalama na sledeći način: $\quad \beta_{k-1}=\angle A_1 A_{k+1} A_{k+2}, \quad \gamma _k=\angle A_1 A_{k+2} A_{k+1}, \quad k\le \left\lfloor {n \over 2}\right\rfloor -1.$
Za navedene uglove imamo relacije $\quad \beta_k +\gamma _k +2\delta=180^o, \quad \beta_{k-1} +\gamma _k +delta=180^o$ .
Ako oduzmemo ove jednakosti dobijamo relaciju $\quad \beta_k -\beta_{k-1} =-\delta.$
Prema tome ovaj niz uglova je aritmetički, pa je $\quad \beta_{k-1} =\beta _0-(k-1)\cdot \delta=180^o-2\delta-(k-1)\cdot \delta=180^o-(k+1)\cdot \delta.$

Definišimo niz trouglova određenih dijagonalama mnogougla $T_k =\triangle A_1 A_{k+1} A_{k+2}$ .
Pretpostavimo da za neki prirodan broj $k\le \left\lfloor {n \over 2}\right\rfloor -1$ , od trouglova podudarnih sa trouglom $T_k$ , definisanim u pravilnom n-touglu, možemo formirati pravilan mnogougaoni prsten, sa m temena na spoljašnjoj konturi.

Spoljašnji ugao spoljašnje konture prstena - pravilnog m-tougla sa stranicom $d_{k-1}$ obeležimo sa $\omega_k$ , a njegova mera je $\omega_k=180^o-\delta-\beta _{k-1}=180^o-\delta-(180^o-(k+1)\cdot \delta)=k\cdot \delta$ .
Pošto je taj spoljašnji ugao pravilnog m-tougla jednak centralnom uglu tog m-tougla, tačna je jednakost
$m \cdot \omega_k =360^o \Leftrightarrow m \cdot k\cdot \delta=m \cdot k\cdot {180^o \over n}=360^o \Leftrightarrow \qquad m={2n \over k}.$
Prema tome, od trouglova podudarnih sa trouglom T_k , definisanog u pravilnom n-touglu, možemo napraviti mnogougaoni prsten, samo ako je broj 2n deljiv sa k.

Pošto je trougao T₁ jednakokraki, slično kao što je urađeno za jednakokraki trougao, određen najdužim dijagonalama u pravilnom mnogouglu sa neparnim brojem stranica, možemo proveriti da od trouglova podudarnih sa trouglom T₁, možemo sastaviti pravilan mnogougao samo ako je broj temena datog mnogougla 4 ili 6.

Sl. 2.png8.64k Sl. 3.png11.39k Sl. 1.png14.04k

Re: Mnogougao i dijagonale 25.06.2025. u 01:10 · pre 16 meseci #9

Jans, svaka čast na rekonstrukciji šta sam hteo da pitam, video sam odavno na grupi mathematical thiling na društvenim mrežama, pa po sećanju postavio pitanje, i na ispravci, nije torus nego prsten, i na rešenju .. rešenje s teškom mukom pratim, zanima me ovaj deo:

"gde je n neparan prirodan broj veći od 3. Iz poslednje jednakosti zaključujemo da će m biti prirodan broj samo ako je n = 5.
Prema tome od jednakokrakih trouglova određenih sa dve najduže susedne dijagonale u pravilnom n-touglu sa neparnim brojem temena, možemo formirati pravilan mnogougaoni prsten samo ako je n=5. Konture tog prstena su dva pravilna petougla."

Jer baš ni reč ne razumem .. ?

Re: Mnogougao i dijagonale 25.06.2025. u 22:14 · pre 16 meseci #10

Citat je iz dela rešenja u kojem proveravam dijagonalne trouglove n-tougla sa neparnim brojem temena. Prema tome n je neparan broj, veći ili jednak broju 3. Pošto analiziramo dijagonalne trouglove a pravilan trougao nema dijagonale, sledi da je n>3 (odnosno, zbog neparnog broja temena, $n \ge 5$ ).
Jednakost odnosno relacija između prirodnih brojeva m (broja temena „potencijalnog“ prstena) i n (neparnog broja temena pravilnog n-tougla u kojem smo uočili dijagonalni trougao) je ( u finalnom obliku ) sledeća:
$m=4+{4 \over {n-1} }$
Broj m može biti prirodan samo ako je drugi sabirak na desnoj strani jednakosti ceo broj. Za koje prirodne brojeve n, m takođe jeste prirodan broj, možemo utvrditi na dva načina. Jedan način je zamenjivanje bojeva 5, 7, 9 ... u jednakost umesto n i na osnovu izračunatih vrednosti za m, izvođenje odgovarajućeg zaključka. Drugi način je da taj sabirak, odnosno razlomak analiziramo. Pošto taj razlomak može da ima celobrojnu vrednost samo ako imenilac nije veći od brojioca, odnosno ako je $n-1 \le 4 \Leftrightarrow n \le 5$ . A pošto prirodan broj n mora da ispuni i (maločas objašnjen) uslov $n \ge 5$ , sledi da je $n=5$ . A za tu vrednost, posle računanja, dobijamo da je i m=5.
To može i da se proveri. Najveći dijagonalni, jednakokraki trougao u pravilnom petouglu, naspram osnovice ima ugao $\delta =36^o$ , a uglovi na osnovici tog trougla su $\gamma =72^o$ . Ako nižemo te trouglove tako da dobijemo prsten ( vidi sliku 2 u prethodnom postu ), spoljašnji ugao konture je $\omega =72^o$ . Pošto je $5 \cdot 72^o =360^o$ to znači da treba da nanižemo pet takvih trouglova da bi dobili prsten.

Možeš proveriti neke od preostalih mogućih neparnih vrednosti broja n,i utvrditi da prsten nije moguće formirati. Na primer, za n=9 i odgovarajući jednakokraki trougao, spoljašnji odnosno centralni ugao će biti $\omega =80^o$ . Broj 360 nije deljiv sa 80, pa nije moguće formirati prsten ( bez preklapanja ).

Sl. 4.png29.63k

Re: Mnogougao i dijagonale 25.06.2025. u 23:41 · pre 16 meseci #11

Ja kad zabrljam .. a sad nemam vremena da crtam .. u slučaju da je n neparno, tad postoji centralni trougao, između dve najveće dijagonale, on se ne pakuje u prsten, nego u novi mnogougao, tako što ugao pri vrhu ide u sredinu, a okolo se ređaju novi identični trouglovi, na primer taj što si ti izračunao ima ugao pri vrhu 36, prilično očigledno da od takvih trouglova može da se sastavi novi desetougao jer 10 x 36 = 360 ..

Re: Mnogougao i dijagonale 26.06.2025. u 14:18 · pre 16 meseci #12

Uz svo dužno poštovanje prema članu jans, mrzi me da čitam njegovo rešenje, pa bih da kažem šta je osnovna ideja.

Neka je dat pravilan $n$ -tougao i neka su $A$ i $B$ njegova susedna temena i neka je $C$ neko od preostalih temena. Ugao $\angle ACB$ je prema teoremi o centralnom i periferijskaom uglu jednak $\pi/n$ . Od takvih trouglova se może složiti "prsten" od pravilnog $2n$ -tougla.

Raymatrani ugao treba da dodiruje unutra[nji deo prstena, ali ne i spoljašnji de prstena. Ugao spoljašnjeg dela prstena se formira kao zbir preostala dva ugla, odnosno spoljašnji ugao mnogougla je jednak $\pi/n$ prema teoremi o zbiru unutrašnjih uglova trougla.

Treba nacrtati pravilan mnogougao sa $2n$ temena i iz svakog temena vući duži pod uglom $\angle CAB$ sve u istu stranu. Time će se ybog odgovarajućeg zbira dobiti da su susedni uglovi jednaki $\angle ABC$ , pa će prema UU stavu o sličnosti trouglova preostali ugao (sa unutrašnje strane prstena) biti jednak $\angle ACB$ , odnosno dobićemo slične trouglove datom.

Onda treba samo homotetijom da dobijemo podudarnost.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Mnogougao i dijagonale 27.06.2025. u 00:08 · pre 16 meseci #13

Pre nego što odgovorim autoru teme, imam pitanje za Nedeljka. Napisao si:

Citat:

Nedeljko: Neka je dat pravilan $n$ -tougao i neka su $A$ i $B$ njegova susedna temena i neka je $C$ neko od preostalih temena. Ugao $\angle ACB$ je prema teoremi o centralnom i periferijskaom uglu jednak $\pi/n$ . Od takvih trouglova se może složiti "prsten" od pravilnog $2n$ -tougla.

Nije mi jasna treća rečenica. Napisao si: " Od takvih trouglova se może složiti "prsten"...".
Da li misliš na sve tako dobijene trouglove, ili samo na neke od tih trouglova? Dalje piše: " "prsten" od pravilnog $2n$ -tougla."
Da li misliš na prsten koji na spoljašnjoj konturi ima $2n$ temena, odnosno na prsten koji je dobijen tako što je iz pravilnog $2n$ -tougla "isečen " manji pravilan $2n$ -tougao?

Re: Mnogougao i dijagonale 27.06.2025. u 16:25 · pre 16 meseci #14

Mislim na jedan proizvoljan od yih trouglova umnožen 2n puta.

Da, mislim na pravilan 2n-tougao iz koga je isečen manji pravilan 2n-tougao.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Mnogougao i dijagonale 28.06.2025. u 01:47 · pre 16 meseci #15

Pošto sam analizirao neke dijagonalne trouglove određenih pravilnih n-touglova, zaključio sam da ako na odgovarajući način nanižemo trouglove podudarne sa nekim od dijagonalnih trouglova, možemo dobiti novi pravilni mnogougao ili mnogougaoni prsten, a broj tih trouglova u nekim slučajevima može biti i manji od 2n.

Tako na primer ako uočimo trougao $T_2= \triangle A_1 A_3 A_4$ u nekom pravilnom n-touglu, trouglove podudarne sa trouglom $T_2$ , slažemo tako da kod zajedničko temena kao susedni budu uglovi $\beta _1 \: i \: \delta$ , spoljašnji ugao većeg pravilnog konturnog mnogougla ( a to je i centralni ugao tog mnogougla) će biti ugao $2\delta$ , odnosno isti kao centralni ugao datog pravilnog n-tougla. To znači da je za formiranje prstena dovoljno n trouglova.
Ili ako u pravilnom dvanaestouglu uočimo trougao $T_5= \triangle A_1 A_6 A_7$ , njegovi unutrašnji uglovi imaju mere $15^o, 75^o, 90^o$ . Četiri trougla, podudarna sa navedenim, jesu dovoljna za formiranje prstena.

U prvoj poruci u ovoj temi, „analiziram“ različite mogućnosti formiranja prstena ili novog pravilnog mnogougla. Međutim, usredsređen na „skraćene“ varijante, pogrešio sam, odnosno izostavio sam neke mogućnosti ( jedna od njih je „sigurna“ varijanta, mogućnost u kojoj od 2n trouglova podudarnih sa uočenim dijagonalnim trouglom možemo formirati prsten). Trebalo bi da to ispravim, odnosno dopunim.

Sl. 5.png10.37k Sl. 6.png12.65k

Re: Mnogougao i dijagonale 29.06.2025. u 16:33 · pre 16 meseci #16

Neka je dat pravilan mnogougao $A_1\cdots A_n$ . Razmotrimo trougao $A_1A_kA_{k+1}$ za $2\leq k\leq n-1$ . Zbog simetrija možemo pretpostaviti da je $2k\leq n$ .

Ugao kod temena $A_1$ je $\pi/n$ . Ugao kod temena $A_{k+1}$ je $\frac{(k-1)\pi}n$ , dok je ugao kod temena $A_k$ jednak $\frac{(n-k)\pi}n$ .

Kada se pravi onaj prsten, unutrašnji ugao spolašnjeg mnogougla je zbir dva ugla ovog trougla, pa je dopuna tog ugla do opruženog jednaka trećem uglu trougla. Pitanje je samo kada je taj ugao delilac od $2\pi$ .

Ugao kod temena $A_1$ je uvek delilac i broj potrebnih delova je $\frac{2\pi}{\pi/n}=2n$ .

Broj potrebnih delova za ugao kod temena $A_k$ je $\frac{2\pi}{(n-k)\pi/n}=\frac{2n}{n-k}$ pod uslovom da je to ceo broj.

Broj potrebnih delova za ugao kod temena $A_{k+1}$ je $\frac{2\pi}{(k-1)\pi/n}=\frac{2n}{k-1}$ pod uslovom da je to ceo broj.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Mnogougao i dijagonale 29.06.2025. u 17:02 · pre 16 meseci #17

Nastavak:

Zbog $k\leq n/2$ je $\frac{2n}{n-k}\leq\frac{2n}{n-n/2}=4$ . Dakle, za ugao kod temena $A_k$ broj delova može biti 3 ili 4.

Slučaj 3 dela: $\frac{2n}{n-k}=3$ , $2n=3n-3k$ , $n=3k$ . Dakle, broj $n$ mora biti deljiv sa 3 i $k=n/3$ .

Slučaj 4 dela: $\frac{2n}{n-k}=4$ , $2n=4n-4k$ , $2n=4k$ . Dakle, broj $n=2k$ mora biti deljiv paran i $k=n/2$ .

Zbog $\frac{2n}{k-1}>\frac{2n}{k}=\frac{2n}{n/2}=4$ braj delova za ugao kod temena $A_{k+1}$ mora biti veći od 4 i delilac broja $2n$ . Ako je $m$ broj doleva, onda je $k=\frac{2n}m+1$ .

Dakle, ako je $n$ deljivo sa 3, onda je moguće sa 3 dela.

Dakle, ako je $n$ parno, onda je moguće sa 4 dela.

Moguće je i na bilo koji broj delova veći od 4 koji je delilac broja $2n$ .

Sa drugačijim brojem delova nije moguće.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Mnogougao i dijagonale 29.06.2025. u 21:24 · pre 16 meseci #18

Kada se pretodno sumira, moguće je na bilo koji broj delova veći od 3 koji je delilac broja 2n i nije moguće ni na jedan drugi broj delova.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Mnogougao i dijagonale 07.07.2025. u 23:08 · pre 16 meseci #19

Pošto treći deo zadatka nije precizno formulisan, analizirao sam od kojih dijagonalnih trouglova pravilnog n-tougla možemo napraviti novi pravilan mnogougao odnosno mnogougaoni prsten ( i verovatno „proširio“ originalan zadatak). Pošto u prvoj poruci nisam naveo sve mogućnosti, evo dopune.
Pomoću nejednakokrakih dijagonalnih trouglova $T_k$ pravilnog n-tougla, osim navedenog načina ( Slika 3 u mojoj prvoj poruci) gde je spoljašnji ugao konture prstena – ugao $\gamma_k$ , „spajanje“ tih trouglova možemo uraditi tako da taj spoljašnji ugao bude $\delta$ , ili $\beta_{k-1}$ . U prvom slučaju ( „sigurna“ varijanta), pošto je centralni ugao konture prstena, ugao $\delta$ , za formiranje prstena je potrebno 2n takvih trouglova. U drugom slučaju, slično kao što je to urađeno u prvoj poruci, možemo zaključiti da je moguće fomirati prsten čija jedna kontura ima m temena, gde je $m=\frac{2n}{n-k-1}$ , a broj 2n deljiv sa (n-k-1) .

Pošto od dva podudarna pravougla trougla možemo „napraviti“ jednakokraki trougao, a pomoću nekih međusobno podudarnih jednakokrakih trouglova možemo formirati pravilan mnogougao, odnosno pravilan mnogougaoni prsten, treba ispitati i te mogućnosti.
U pravilnom n-touglu dijagonalni trougao može biti pravougli samo ako je duža dijagonala ( od dve dijagonale koje određuju taj trougao ) jednaka prečniku kružnice opisane oko tog mnogougla, a to znači da broj temena n tog pravilnog mnogougla, mora da bude paran. Taj najveći dijagonalni trougao pravilnog n-tougla ima unutrašnje uglove $90^o, \delta$ i $90^o - \delta$ . Od dva takva podudarna trougla, možemo dobiti dva različita jednakokraka trougla. U jednom je ugao naspram osnovice $2\delta$ , a u drugom $2(90^o - \delta)$ . U prvom slučaju od n takvih trouglova ( odnosno od 2n dijagonalnih ) možemo napraviti novi pravilan n-tougao. U drugom slučaju pravilan mnogougao možemo formirati samo od dijagonalnih pravouglih trouglova pravilnog šestougla.

Slično kao u prvoj poruci, možemo zaključiti da je od jednakokrakih trouglova, dobijenih spajanjem pravouglih dijagonalnih trouglova , tako da je ugao naspram osnovice $2(90^o - \delta)$ , nizanjem 2n takvih jednakokrakih trouglova (odnosno 4n dijagonalnih pravouglih trouglova) moguće dobiti pravilan mnogougaoni prsten.
Od jednakokrakih trouglova dobijenih spajanjem pravouglih dijagonalnih trouglova , tako da je ugao naspram osnovice $2\delta$ , možemo napraviti pravilan mnogougaoni prsten, samo ako je broj temena pravilnog mnogougla 6 ili 10.
Kao ilustraciju posmatrajmo najveći dijagonalni trougao u pravilnom desetouglu. Njegovi unutrašnji uglovi imaju mere $18^o, 72^o$ i $90^o$ . Od 10 trouglova podudarnih sa navedenim, možemo napraviti pravilan 5-tougaoni prsten.

Sl. 7.png34.6k

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme