Mnogougao i dijagonale

Postoji pravilan mnogougao A1, A2, A3 .. An-1, An. Ugao A3A1A4 iznosi 6 stepeni.

1.) Koliko takav mnogougao ima dijagonala?
2.) Koliki je zbir svih unutrašnjih i svih spoljašnjih uglova tog mnogougla?
3.) Ukoliko se povuku sve dijagonale iz jednog temena, i na taj način mnogougao podeli na trouglove, svaki takav trougao umnožen više puta može da posluži za formiranje svojevrsnog torusa, tako da se trouglovi nikad ne preklapaju. A ako je mnogougao sa neparnim brojem temena, te postoji centralni takav trougao, onda se ređanjem takvog umnoženog trougla, u krug dobija novi mnogougao, a da se trouglovi nikad ne preklope.

1.) Je međuopštinsko 1997 za 7 razred osnovne 2.) Sam ja izmislio 3.) Viđeno na internetu



Ilustracija uz 3.)

---

Centralni ugao A3-O-A14 je 11*360°/n. Periferijski A3-A1-A14 je pola od toga. Odatle se lako nađe da je n=330.

Prva dva dela su trivijalna.

Nisam siguran da razumem ..



Ovo hajd u redu valjda ..



Ovo ne razumem. U knjizi je rešenje da je u pitanju mnogougao sa 30 stranica, i da takav ima 405 dijagonala. I fulao sam koje takmičenje je bilo u pitanju, okružno, a ne međuopštinsko ..



Ilustracija uz prvi zadatak, ugao A3-A1-A4 je 6 stepeni.

---

Majore pročitao sam teme A14 umesto A4.
Tako sam i računao.

Neka je O centar opisane kružnice oko mnogougla.
Centralni ugao A3-O-A4 je 360°/n.
Periferijski ugao, nad istim kružnim lukom, A3-A1-A4 je pola od toga.

Iz jednačine 1/2*(360°/n) = 6° se dobija da je n=30.

Iz svakog od 30 temena konstruišu se duži u ostalih 29 temena.
Ukupno 30*29=870 usmerenih duži (vektora).
Od toga su 30*2= 60 vektori stranica.
Ostaje 870-60=810 vektora dijagonala.
Pošto dijagonala nije vektor, nego duž, broj dijagonala je
1/2*810 = 405.

_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 09.06.2025. u 01:10 GMT+1]}

Sve jasno, ja nisam umeo da rešim, a u knjizi je neko komplikovano rešenje gde su docrtavali duž A4-A2, a unutrašnji ugao mnogougla imenovali 2alfa itd .. ti si rešio mnogo jednostavnije. Svaka čast!

---

2) Zbir svih unutrašnjih uglova je (30-2)*180 stepeni, a zbir svih spoljašmjih je 360 stepeni.

3) Nije mi baš sve jasno.

Jest, a pošto je 360 baš 2 x 180 mislio sam da se sve smandrlja u zbir svih unutrašnjih i spoljašnjih uvek: n x 180 :) Ne verujem da će koristiti u zadacima ..



Ni meni, ako se n-tougao podeli dijagonalama iz jednog temena na troglove, uvek ih je moguće spakovati u torus, ili novi n-tougao ...

---

3.) Pošto treći deo zadatka nije precizno formulisan, predlažem rešenje zasnovano na pretpostavci da je treća figura na slici u uvodnoj poruci dvodimenzionalna figura, prsten određen sa dva pravilna mnogougla. Možda je moguće od dijagonalnih trouglova pravilnog mnogougla sastaviti i telo koje podseća na torus ( torus je trodimenzionalno telo ), ali bi takva varijanta zadatka bila teža, samim tim i „rekonstrukcija“ zadatka, ako nije precizno formulisan, bila teža.

Ako spojimo dva susedna temena pravilnog n-tougla sa središtem kružnice opisane oko tog n-tougla dobijamo karakteristični trougao tog pravilnog n-tougla. Ugao naspram osnovice a tog jednakokrakog trougla, odnosno centralni ugao opisane kružnice nazovimo centralnim uglom pravilnog n-tougla i obeležimo sa , pa je . Unutrašnji ugao n-tougla obeležimo sa . Mera tog ugla je . Pošto su ti uglovi suplementni sledi da je spoljašnji ugao pravilnog n-tougla jednak centralnom uglu tog pravilnog n-tougla.
Konstruišimo sve dijagonale koje sadrže teme (ima ih ukupno n-3), a onda konstruišimo i osu simetrije pravilnog n-tougla kroz tačku . Ako je n neparan broj, broj dijagonala je paran i svaka dijagonala ima tačno jednu osno simetričnu dakle podudarnu dijagonalu. Ako je n paran broj, broj dijagonala je neparan, pa osim parova simetričnih dijagonala postoji jedna koja leži na osi simetrije i ona nema simetričnu dijagonalu. To je najduža dijagonala koja je jednaka prečniku opisane kružnice. Stranicu a, zbog formula koje ćemo koristiti, obeležimo i sa . Dijagonale obeležimo sa gde je prirodan broj . Ako je n paran broj, imamo i najdužu dijagonalu .
Ovim dijagonalama je pravilan n-tougao podeljen na n-2 trougla, koji kod temena imaju ugao sa merom ( Miki je to objasnio). Zbog podudarnosti simetričnih trouglova, prilikom rešavanja zadatka razmotrimo samo „polovinu“ trouglova.

Neka je broj temena n, neparan broj. Uočimo trougao određen sa dve najduže, jednake dijagonale.
Ako od trouglova podudarnih sa uočenim trouglom, „pravimo“ pravilan m-tougao, tako da temena naspram osnovica tih jednakokrakih trouglova budu u jednoj tački, a susedni trouglovi imaju zajednički krak, centralni ugao tog m-tougla će biti ugao , ugao koji je polovina centralnog ugla pravilnog n-tougla. Prema tome, da bi ti centralni uglovi formirali pun ugao, odnosno da bi od tih trouglova satavili pravilan m-tougao, treba da ih bude dva puta više nego što je centralnih uglova u pravilnom n-touglu, odnosno mora da bude .

Proverićemo da li je od tih trouglova moguće „napraviti“ treću, nekonveksnu figuru sa slike iz uvodnog posta. Nazovimo tu figuru pravilan mnogougaoni prsten.
Ugao naspram osnovice tog trougla ima meru . Ugao na osnovici obeležimo sa , pa je .
Ako je spoljašnja kontura pravilnog mnogougaonog prstena pravilan m-tougao, ugao suplementan uglu , obeležimo ga sa , mora biti jednak centralnom uglu tog pravilnog m-tougla.

Odredimo taj centralni ugao, odnosno ugao .
.
Ugao može da bude centralni ugao pravilnog m-tougla ako postoji prirodan broj m, veći od 2, takav da je m-tostruki umnožak tog centralnog ugla, jednak punom uglu:

gde je n neparan prirodan broj veći od 3. Iz poslednje jednakosti zaključujemo da će m biti prirodan broj samo ako je .
Prema tome od jednakokrakih toruglova određenih sa dve najduže susedne dijagonale u pravilnom n-touglu sa neparnim brojem temena, možemo formirati pravilan mnogougaoni prsten samo ako je n=5. Konture tog prstena su dva pravilna petougla.

Neka je sada n prirodan broj veći od 3 (pošto trougao nema dijagonale).
Označimo uglove trouglova određenih dijagonalama na sledeći način:
Za navedene uglove imamo relacije .
Ako oduzmemo ove jednakosti dobijamo relaciju
Prema tome ovaj niz uglova je aritmetički, pa je


Definišimo niz trouglova određenih dijagonalama mnogougla .
Pretpostavimo da za neki prirodan broj , od trouglova podudarnih sa trouglom , definisanim u pravilnom n-touglu, možemo formirati pravilan mnogougaoni prsten, sa m temena na spoljašnjoj konturi.

Spoljašnji ugao spoljašnje konture prstena - pravilnog m-tougla sa stranicom obeležimo sa , a njegova mera je .
Pošto je taj spoljašnji ugao pravilnog m-tougla jednak centralnom uglu tog m-tougla, tačna je jednakost

Prema tome, od trouglova podudarnih sa trouglom T_k , definisanog u pravilnom n-touglu, možemo napraviti mnogougaoni prsten, samo ako je broj 2n deljiv sa k.

Pošto je trougao T₁ jednakokraki, slično kao što je urađeno za jednakokraki trougao, određen najdužim dijagonalama u pravilnom mnogouglu sa neparnim brojem stranica, možemo proveriti da od trouglova podudarnih sa trouglom T₁, možemo sastaviti pravilan mnogougao samo ako je broj temena datog mnogougla 4 ili 6.



_{[Ovu poruku je menjao jans dana 24.06.2025. u 22:37 GMT+1]}

Jans, svaka čast na rekonstrukciji šta sam hteo da pitam, video sam odavno na grupi mathematical thiling na društvenim mrežama, pa po sećanju postavio pitanje, i na ispravci, nije torus nego prsten, i na rešenju .. rešenje s teškom mukom pratim, zanima me ovaj deo:

"gde je n neparan prirodan broj veći od 3. Iz poslednje jednakosti zaključujemo da će m biti prirodan broj samo ako je n = 5.
Prema tome od jednakokrakih trouglova određenih sa dve najduže susedne dijagonale u pravilnom n-touglu sa neparnim brojem temena, možemo formirati pravilan mnogougaoni prsten samo ako je n=5. Konture tog prstena su dva pravilna petougla."

Jer baš ni reč ne razumem .. ?

---

Citat je iz dela rešenja u kojem proveravam dijagonalne trouglove n-tougla sa neparnim brojem temena. Prema tome n je neparan broj, veći ili jednak broju 3. Pošto analiziramo dijagonalne trouglove a pravilan trougao nema dijagonale, sledi da je n>3 (odnosno, zbog neparnog broja temena, ).
Jednakost odnosno relacija između prirodnih brojeva m (broja temena „potencijalnog“ prstena) i n (neparnog broja temena pravilnog n-tougla u kojem smo uočili dijagonalni trougao) je ( u finalnom obliku ) sledeća:

Broj m može biti prirodan samo ako je drugi sabirak na desnoj strani jednakosti ceo broj. Za koje prirodne brojeve n, m takođe jeste prirodan broj, možemo utvrditi na dva načina. Jedan način je zamenjivanje bojeva 5, 7, 9 ... u jednakost umesto n i na osnovu izračunatih vrednosti za m, izvođenje odgovarajućeg zaključka. Drugi način je da taj sabirak, odnosno razlomak analiziramo. Pošto taj razlomak može da ima celobrojnu vrednost samo ako imenilac nije veći od brojioca, odnosno ako je . A pošto prirodan broj n mora da ispuni i (maločas objašnjen) uslov , sledi da je . A za tu vrednost, posle računanja, dobijamo da je i m=5.
To može i da se proveri. Najveći dijagonalni, jednakokraki trougao u pravilnom petouglu, naspram osnovice ima ugao , a uglovi na osnovici tog trougla su . Ako nižemo te trouglove tako da dobijemo prsten ( vidi sliku 2 u prethodnom postu ), spoljašnji ugao konture je . Pošto je to znači da treba da nanižemo pet takvih trouglova da bi dobili prsten.

Možeš proveriti neke od preostalih mogućih neparnih vrednosti broja n,i utvrditi da prsten nije moguće formirati. Na primer, za n=9 i odgovarajući jednakokraki trougao, spoljašnji odnosno centralni ugao će biti . Broj 360 nije deljiv sa 80, pa nije moguće formirati prsten ( bez preklapanja ).

Ja kad zabrljam .. a sad nemam vremena da crtam .. u slučaju da je n neparno, tad postoji centralni trougao, između dve najveće dijagonale, on se ne pakuje u prsten, nego u novi mnogougao, tako što ugao pri vrhu ide u sredinu, a okolo se ređaju novi identični trouglovi, na primer taj što si ti izračunao ima ugao pri vrhu 36, prilično očigledno da od takvih trouglova može da se sastavi novi desetougao jer 10 x 36 = 360 ..

---

Uz svo dužno poštovanje prema članu jans, mrzi me da čitam njegovo rešenje, pa bih da kažem šta je osnovna ideja.

Neka je dat pravilan -tougao i neka su i njegova susedna temena i neka je neko od preostalih temena. Ugao je prema teoremi o centralnom i periferijskaom uglu jednak . Od takvih trouglova se może složiti "prsten" od pravilnog -tougla.

Raymatrani ugao treba da dodiruje unutra[nji deo prstena, ali ne i spoljašnji de prstena. Ugao spoljašnjeg dela prstena se formira kao zbir preostala dva ugla, odnosno spoljašnji ugao mnogougla je jednak prema teoremi o zbiru unutrašnjih uglova trougla.

Treba nacrtati pravilan mnogougao sa temena i iz svakog temena vući duži pod uglom sve u istu stranu. Time će se ybog odgovarajućeg zbira dobiti da su susedni uglovi jednaki , pa će prema UU stavu o sličnosti trouglova preostali ugao (sa unutrašnje strane prstena) biti jednak , odnosno dobićemo slične trouglove datom.

Onda treba samo homotetijom da dobijemo podudarnost.

---

Pre nego što odgovorim autoru teme, imam pitanje za Nedeljka. Napisao si:
Nije mi jasna treća rečenica. Napisao si: " Od takvih trouglova se może složiti "prsten"...".
Da li misliš na sve tako dobijene trouglove, ili samo na neke od tih trouglova? Dalje piše: " "prsten" od pravilnog -tougla."
Da li misliš na prsten koji na spoljašnjoj konturi ima temena, odnosno na prsten koji je dobijen tako što je iz pravilnog -tougla "isečen " manji pravilan -tougao?

Mislim na jedan proizvoljan od yih trouglova umnožen 2n puta.

Da, mislim na pravilan 2n-tougao iz koga je isečen manji pravilan 2n-tougao.

---

Pošto sam analizirao neke dijagonalne trouglove određenih pravilnih n-touglova, zaključio sam da ako na odgovarajući način nanižemo trouglove podudarne sa nekim od dijagonalnih trouglova, možemo dobiti novi pravilni mnogougao ili mnogougaoni prsten, a broj tih trouglova u nekim slučajevima može biti i manji od 2n.

Tako na primer ako uočimo trougao u nekom pravilnom n-touglu, trouglove podudarne sa trouglom , slažemo tako da kod zajedničko temena kao susedni budu uglovi , spoljašnji ugao većeg pravilnog konturnog mnogougla ( a to je i centralni ugao tog mnogougla) će biti ugao , odnosno isti kao centralni ugao datog pravilnog n-tougla. To znači da je za formiranje prstena dovoljno n trouglova.
Ili ako u pravilnom dvanaestouglu uočimo trougao , njegovi unutrašnji uglovi imaju mere . Četiri trougla, podudarna sa navedenim, jesu dovoljna za formiranje prstena.

U prvoj poruci u ovoj temi, „analiziram“ različite mogućnosti formiranja prstena ili novog pravilnog mnogougla. Međutim, usredsređen na „skraćene“ varijante, pogrešio sam, odnosno izostavio sam neke mogućnosti ( jedna od njih je „sigurna“ varijanta, mogućnost u kojoj od 2n trouglova podudarnih sa uočenim dijagonalnim trouglom možemo formirati prsten). Trebalo bi da to ispravim, odnosno dopunim.


_{[Ovu poruku je menjao jans dana 28.06.2025. u 01:57 GMT+1]}

Neka je dat pravilan mnogougao . Razmotrimo trougao za . Zbog simetrija možemo pretpostaviti da je .

Ugao kod temena je . Ugao kod temena je , dok je ugao kod temena jednak .

Kada se pravi onaj prsten, unutrašnji ugao spolašnjeg mnogougla je zbir dva ugla ovog trougla, pa je dopuna tog ugla do opruženog jednaka trećem uglu trougla. Pitanje je samo kada je taj ugao delilac od .

Ugao kod temena je uvek delilac i broj potrebnih delova je .

Broj potrebnih delova za ugao kod temena je pod uslovom da je to ceo broj.

Broj potrebnih delova za ugao kod temena je pod uslovom da je to ceo broj.

---

Nastavak:

Zbog je . Dakle, za ugao kod temena broj delova može biti 3 ili 4.

Slučaj 3 dela: , , . Dakle, broj mora biti deljiv sa 3 i .

Slučaj 4 dela: , , . Dakle, broj mora biti deljiv paran i .

Zbog braj delova za ugao kod temena mora biti veći od 4 i delilac broja . Ako je broj doleva, onda je .


Dakle, ako je deljivo sa 3, onda je moguće sa 3 dela.

Dakle, ako je parno, onda je moguće sa 4 dela.

Moguće je i na bilo koji broj delova veći od 4 koji je delilac broja .

Sa drugačijim brojem delova nije moguće.

---

Kada se pretodno sumira, moguće je na bilo koji broj delova veći od 3 koji je delilac broja 2n i nije moguće ni na jedan drugi broj delova.

---