Stav o neprekidnosti monotonih funkcijaCitat:
Stav.
Neka je
monotona funkcija (realne promenljive) i neka za svaku tačku 
koja je između vrednosti 
i 
postoji vrednost 
takva da je 
. Tada je funkcija f neprekidna na 
.
Dokaz.
Pretpostavimo, suprotno tvrđenju, da je funkcija f sa opisanim svojstvima prekidna u nekoj tački
. Pretpostavimo da je f npr. rastuća i da je, na primer, 
. Ako izaberemo proizvoljno iz intervala 
, dobićemo, s jedne strane, da je tačka između f(a) i f(b), a s druge strane da očigledno ne može biti slika nijedne vrednosti . Ova kontradikcija dokazuje tvrđenje stava.
(Matematička analiza I, Adnađević, Kadelburg)
Neka je
monotona funkcija (realne promenljive) i neka za svaku tačku koja je između vrednosti i postoji vrednost takva da je . Tada je funkcija f neprekidna na .Dokaz.
Pretpostavimo, suprotno tvrđenju, da je funkcija f sa opisanim svojstvima prekidna u nekoj tački
. Pretpostavimo da je f npr. rastuća i da je, na primer, . Ako izaberemo proizvoljno iz intervala , dobićemo, s jedne strane, da je tačka između f(a) i f(b), a s druge strane da očigledno ne može biti slika nijedne vrednosti . Ova kontradikcija dokazuje tvrđenje stava.(Matematička analiza I, Adnađević, Kadelburg)
1. Da li
sledi iz toga sto smo pretpostavili da je funkcija rastuća?2. Zašto je očigledno?
Hvala unapred!
[Ovu poruku je menjao pitomir dana 18.02.2012. u 11:00 GMT+1]
