Lema 1. Svaka neprekidna funkcija
ima fiksnu tačku.
Dokaz.
Ako je
ili
tvrđenje je dokazano, u suprotnom važi
i
.
Uvedimo pomoćnu neprekidnu funkciju
.
Vidimo da je
a
, pa na osnovu
Bolcano-Košijeve teoreme o međuvrednosti postoji tačka
za koju je
, tj.
.
Sada možemo da krenemo sa rešavanjem postavljenog zadatka.
Uvedimo pomoćnu neprekidnu funkciju
.
Ako bi postojale tačke
za koje bi važilo
i
, onda bi postojala i tačka
za koju važi
tj.
.
Zato, ostaje da razmotrimo slučaj kada je pomoćna f-ja konstantnog znaka. Neka su funkcije označene tako da važi
za svako
.
Na osnovu
Leme 1. postoji
takva da
.
Zbog komutativnosti datih funkcija dobijamo da je
.
Dakle, dobili smo zanimljivu osobinu: ako je
fiksna tačka f-je
, onda je fiksna tačka i
za svako
.
Niz
je ograničen i opadajući. Evo zašto je i opadajući.
Za svaku fiksnu tačku
f-je
važi:
(jer je
)
Pošto su sve tačke niza
fiksne za f-ju
, dobijamo da je
.
Znači taj niz konvergira.
Drugim rečima
za neko
.
Vidimo da je
fiksna tačka funkcije
, jer je
.
Ali,
je fiksna tačka i f-je
, jer je
.
To je to,
.
[Ovu poruku je menjao uranium dana 12.12.2005. u 09:09 GMT+1]
Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.
Zadatak iz neprekidnosti funkcije - potrebna pomoc
