Zadatak iz neprekidnosti funkcije - potrebna pomoc

Neka su f, g:[0,1]->[0,1] neprekidne funkcije i neka su komutativne u odnosu na operaciju kompozicije funkcija. (tj. f(g(x))=g(f(x)) za svako x iz domena) Dokazati da postoji x iz [0,1], takvo da je f(x)=g(x).

poz.

_{[Ovu poruku je menjao kajla dana 10.12.2005. u 17:36 GMT+1]}

Lema 1. Svaka neprekidna funkcija ima fiksnu tačku.
Dokaz.
Ako je ili tvrđenje je dokazano, u suprotnom važi i .
Uvedimo pomoćnu neprekidnu funkciju .
Vidimo da je a , pa na osnovu Bolcano-Košijeve teoreme o međuvrednosti postoji tačka za koju je , tj. .

Sada možemo da krenemo sa rešavanjem postavljenog zadatka.

Uvedimo pomoćnu neprekidnu funkciju .
Ako bi postojale tačke za koje bi važilo i , onda bi postojala i tačka za koju važi tj. .
Zato, ostaje da razmotrimo slučaj kada je pomoćna f-ja konstantnog znaka. Neka su funkcije označene tako da važi za svako .

Na osnovu Leme 1. postoji takva da .
Zbog komutativnosti datih funkcija dobijamo da je .
Dakle, dobili smo zanimljivu osobinu: ako je fiksna tačka f-je , onda je fiksna tačka i za svako .

Niz je ograničen i opadajući. Evo zašto je i opadajući.
Za svaku fiksnu tačku f-je važi: (jer je )
Pošto su sve tačke niza fiksne za f-ju , dobijamo da je .


Znači taj niz konvergira.

Drugim rečima za neko .

Vidimo da je fiksna tačka funkcije , jer je .
Ali, je fiksna tačka i f-je , jer je .

To je to, .

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 12.12.2005. u 09:09 GMT+1]}

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}