|
nikolinv
Nastavnik matematike u O.Š. "Milan
Hadžić"
SeloGori,aBabaSeČešlja
Član broj: 218508
Poruke: 72
217.169.219.*
|
Konačno sam našao elementarno rešenje ovog zadatka:
m - Miličine godine
j - Jovanove godine
f - polinom
u,v - pomoćni polinomi
Važi:
f(m) = 0
f(7) = 77
f(j) = 85
m > j > 7
0. Neka je f neki polinom i neka f(a) = b , (a i b brojevi) tada se polinom f može zapisati:
f(x) = (a - x)*g(x) + b
gde je g takođe polinom. Specijalno, ako je k koren polinoma (f(k) = 0), onda:
f(x) = (k - x)*g(x)
1. Kako je m koren polinoma f imamo:
f(x) = (m-x)*u(x)
gde je u polinom sa celobrojnim koeficijentima.
Za x = 7,
f(7) = (m - 7)*u(7)
77 = (m - 7)*u(7)
(m-7) | 77 (*)
Za x = j,
f(j) = (m - j)*u(j)
85 = (m - j)*u(j)
(m - j) | 85 (**)
2. Kako je f(7) = 77, to na osnovu 0. možemo funkciju f zapisati i ovako:
f(x) = (x - 7)*v(x) + 77
Za x = j,
f(j) = (j - 7)*v(j) +77
85 = (j - 7)*v(j) + 77
8 = (j - 7)*v(j)
(j - 7) | 8 (***)
Na osnovu (*) zaključujemo da je m element skupa {14,18,84}
Na osnovu (***) zaključujemo da je j element skupa {8,9,11,15}
Kako i uslov (**) mora biti zadovoljen, formiramo sve razlike kandidata za m i za j. Dobija se skup 3,5,6,7,9,10,69,73,74,76 gde je jedino broj 5 deli broj 85. Kako smo 5 dobili kao razliku brojeva 14 i 9, to je
m = 14 , j = 9
što je očigledno i jedino rešenje zadatka.
Polinom je moguće sada tražiti u obliku kvadratnog trinoma (partikularno rešenje), jer znamo tri njegove vrednosti, ali se to u zadatku i ne traži.
|
Zadatak o Jovanu i Mariji
Re: Zadatak o Jovanu i Mariji
