Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Zajednicke nule polinoma

[es] :: Matematika :: Zajednicke nule polinoma

[ Pregleda: 3782 | Odgovora: 5 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

princip123

Član broj: 328748
Poruke: 3
*.adsl-a-1.sezampro.rs.



Profil

icon Zajednicke nule polinoma08.04.2015. u 15:35 - pre 109 meseci
Zadatak je inace iz programiranja, ali posto je zadatak cisto matematicki odlucio sam da pitam ovde.

Imam dva resena primera u kojima ne kapiram postupak.

Zad1:

Dakle imam data tri polinoma P(x),Q(x) i R(x). Polinom P(x) ima nepoznate parametre m i n. Treba da nadjem parametre m i n polinoma P(x) tako da zajednicka nula polinoma Q(x) i R(x) bude dvostruka nula polinoma P(x).

Zadatak je resen tako sto je prvo nadjem najveci zajednicki delilac polinoma Q i R. Zatim je nadjen polinom koji predstavlja ostatak pri deljenju polinoma P polinomom NZD(Q,R) ^ 2. I resenje se dobija nalazenjem parametara m i n, za koje lista koeficijenata tog ostatka bude nula . Nadam se da je ovo jasno. E sad, jasno mi je pojedinacno da treba da se nadje NZD ili ostatak pri deljenju, ali ne kapiram zasto se bas taj postupak uzima, jer mi je nekako nepovezano sve ovo. I zasto recimo uzimamo ostatak pri deljenju P sa nzd^2, zasto je tu nzd na 2. stepen?

Ostavicu ispod i kod u mathematici, ako nekom znaci.

Code:
ZajednickaNula[P_, Q_, R_] := Module[{ost, zajFak, res},
   zajFak = PolynomialGCD[Q, R];
   ost = PolynomialRemainder[P, zajFak^2, x];
   res = {m, n} /.  Solve[CoefficientList[ost, x] == {0, 0}, {m, n}][[1]];
   Return[res];
   ];


zad2:

Opet imamo P(x), Q(x) i R(x), P ima parametre m i n, ali sada treba naci m i n u P, tako da razlicite celobrojne nule polinoma Q i R, budu takodje nule polinoma P.

A ovo je reseno tako sto nadjemo razlicite cele nule i onda na osnovu tih nula formiramo polinom kojim delimo P, tako da je ostatak 0. I meni nije jasno zasto i kako se nalazi taj polinom kojim delimo P. Ovde je taj polinom formiran tako sto smo nasli dve razlicite cele nule, u ovom slucaju {-1,3}, i onda je polinom formiran tako sto su od x oduzimane ove nule, i medjusobno mnozene. Za ove nule konkretno to je: (x-3)(x-(-1)). I onda su nadjeni m i n iz P za koje je ostatak pri deljenju polinoma P polinomom (x-3)(x+1) jednako nula.

Znaci ne interesuje me postupak za nalazenje nzd-a ili ostatka, samo ne mogu da povezem ove korake za dobijanje resenja.

Hvala unapred
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.ptt.rs.



+2789 Profil

icon Re: Zajednicke nule polinoma08.04.2015. u 22:50 - pre 109 meseci
Zad1: Nije ti baš sasvim korektno. Šta ako Q i R imaju zajedničku dvostruku nulu, koja je dvostruka za P? Neće ti raditi pisani postupak. Na primer, P(x)=Q(x)=R(x)=x^2. Drugo, da li treba sve zajedničke nule od Q i R da budu dvostruke nule od P ili treba barem jedna zajednička nula od Q i R da bude dvostruka za P? Da li njena višestruost u P mora da bude tačno 2 ili veća ili jednaka 2? Da li te zanimaju samo realne nule ili i kompleksne?

Ako treba barem jedna od zajedničkih nula od Q i R da bude barem dvostruka od P, onda ti predlažem sledeći postupak:

S=NZD(P,P'), gde je P' izvod polinoma P. Njegovi koreni su upravo višestruki koreni od Q i R.
T=NZD(Q,R).

Zanima nas da li S i T imaju barem jednu zajedničku nulu.

U=NZD(S,T).

Ako je stepen od U najmanje 1 (odnosno U nije konstantan polinom), onda tražena kompleksna nula postoji. Ako te interesuju samo realne nule, to je složenije i odgovor daje Šturmova teorema.

Evo algoritma za delenje sa ostatkom:

Ako su dati polinomi i , gde je i , onda od oduzmeš . Postupak ponavljaš dok ne dobiješ polinom nižeg stepena od , kada je dobijeni polinom ostatak pri delenju sa .

Primer: Izračunati ostatak pri delenju sa .

Od oduzmemo drugi pomnožen sa

.

Od ovoga oduzmeš .

,
,
,
,
.
x^2-(4/9)x+63/9[/tex]

Najzad, od ovoga oduzmeš .

.

Ovo je nižeg stepena nego , pa je to ostatak pri delenju sa .

Što se tiče najvećeg zajedničkog delioca polinoma kao gore, on se računa ovako

Formiramo niz polinoma na sledeći način:

Prvo napišemo polinom višeg stepena, pa nižeg (odnosno u proizvoljnom redosledu ako su stepeni isti) - u našm primeru pa .
Svai sledeći član niza je ostatak pri delenju pretposlednjeg člana niza poslednjim. Recimo, treći je ostatak pri delenju prvog drugim. Postupak se produžava dok ne dobijemo nula polinom, kada je NZD poslednji nenula polinom u nizu.

U našem slučaju:

,
,
,
,
.

NZD je određen do na množenje nenula konstantom, tao da su oba rezultata ispravna.
Mogli smo da svaki član niza normiramo, tj. delimo sa njegovim vodećim koeficijentom.


Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

princip123

Član broj: 328748
Poruke: 3
*.adsl-a-1.sezampro.rs.



Profil

icon Re: Zajednicke nule polinoma09.04.2015. u 00:28 - pre 109 meseci
Hvala ti puno na ovome. Sto se tice prvog zadatka, radim ga za konkretno 3 zadata polinoma, tako da nema tih posebnih slucajeva i oni sigurno nisu isti. Znaci potrebno je da nadjem paramtere m i n polinoma P(x), za koje je zaj. nula polinoma Q i R dvostruka za P, a ne tacku u kojoj polinomi Q i R imaju nulu, a onda da to bude dvostruka nula za P. A vecinu ovih postupaka ja vec imam u programu, tako da ne moram posebno da nalazim to matematicki. Mene samo interesuje ovaj algoritam, jer ga ne razumem. Mogu da nabubam lako za ova dva zadatka, ali neki slican nebih umeo da uradim.

Jedino ne kapiram kako su resili ovaj zadatak bez ikakvog trazenja izvoda. Pa mi pade na pamet, mozda se ne misli na dvostruku nulu, nego jednostavno zaj. nula dva polinoma koja je ujedno i nula onog prvog. Mozda moze da se zakljuci iz ovog postpuka sto cu da napisem dole, mada u zadatku stoji dvostruka nula.

Evo malo detaljnije da opisem postupak kako je resen zadatak:

1. zajFak = NZD(Q,R)
2. ostatak pri deljenju polinoma P sa zajFak^2
3. rezultat je dobijen tako sto je za listu koeficijenata tog ostatka nadjeno m i n tako da ta lista bude nula.

Konkretno ovo su polinomi:


I sad za NZD(Q,R) dobija se:

A u 2. koraku nije mi jasno zasto se trazi ostatak pri deljenju polinoma P sa NZD(Q,R)^2, ne znam zasto je tu kvadrat od nzd-a.
Inace za taj ostatak se dobija :

I onda lista koeficijenata tog polinoma ima dva elementa : , i onda se resava sistem jednacina , i , i nalazi se m i n. I kao resenje se dobija m=10 i n=9.

Znaci ja ne moram da racunam sve to posebno, ali ne razumem sta se dobija recimo kada se trazi nzd dva polinoma. Sta taj nzd znaci za ovaj zadatak. Da li kada se nadje nzd za dva polinoma i ako je on odredjenog stepena znaci da imaju ili nemaju zajednicku nulu?

A takodje mi nije jasno sta predstavlja polinom u kome se nalazi ostatak, koji sam gore napisao.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.ptt.rs.



+2789 Profil

icon Re: Zajednicke nule polinoma09.04.2015. u 10:41 - pre 109 meseci
Citat:
princip123: Hvala ti puno na ovome. Sto se tice prvog zadatka, radim ga za konkretno 3 zadata polinoma, tako da nema tih posebnih slucajeva i oni sigurno nisu isti.

Pa, uzmi P(x)=x^2, Q(x)=x^2(x-1) i R(x)=x^2(x-2). Činjenica da su različiti ne menja ništa. Postupak mora biti korektan.
Citat:
princip123: Znaci potrebno je da nadjem paramtere m i n polinoma P(x), za koje je zaj. nula polinoma Q i R dvostruka za P, a ne tacku u kojoj polinomi Q i R imaju nulu, a onda da to bude dvostruka nula za P.

Izvini, ali ne razumem razliku između to dvoje.
Citat:
princip123: A vecinu ovih postupaka ja vec imam u programu, tako da ne moram posebno da nalazim to matematicki. Mene samo interesuje ovaj algoritam, jer ga ne razumem. Mogu da nabubam lako za ova dva zadatka, ali neki slican nebih umeo da uradim.

Odakle ti zadatak? Iz prakse ili iz neke zbirke? Postoji mogućnost da navedeno rešenje nije tačno. Ako je iz zbirke, prepiši ceo zadatak, pa da vidimo. Ako je iz prakse, formulacija zavisi od problema koji se rešava, pa ga formuliši.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

princip123

Član broj: 328748
Poruke: 3
*.adsl-1.sezampro.rs.



Profil

icon Re: Zajednicke nule polinoma09.04.2015. u 11:26 - pre 109 meseci
Ovaj zadatak je sa ispita nekog ranije, a radili smo ga na vezbama i tako je uradjen. A resenje imam samo u kodu, pa sam ja probao da objasnim algoritam po kom radi taj kod.

Evo, ceo zadatak glasi ovako:

Polinomu
odrediti parametre m i n tako da zajednička nula polinoma
i bude dvostruka nula polinoma P (x).

Resenje za ovaj zadatak je {10,9}

Kod:

Code:

ZajednickaNula[P_, Q_, R_] := Module[{ost, zajFak, res},
   zajFak = PolynomialGCD[Q, R];
   ost = PolynomialRemainder[P, zajFak^2, x];
   res = {m, n} /. 
     Solve[CoefficientList[ost, x] == {0, 0}, {m, n}][[1]];
   Return[res];
   ];


Ovaj drugi zadatak je resila drugarica na ispitu, i priznato joj je resenje, evo pun tekst i kod.

Napisati funkciju koja za zadati polinom

odredjuje parametre m i n tako da razliciti celobrojni koreni polinoma
i
predstavljaju, takodje, korene polinoma P(x).

Resenje: {4,-3}

Kod:

Code:

Polinomi[P_, Q_, R_] := 
  Module[{res = {0, 0}, nule1 = {}, nule2 = {}, ukupno = {}, duz, 
    pol = 1, ostatak, koef, nule},
   nule1 = x /. Solve[Q == 0, x];
   nule2 = x /. Solve[R == 0, x];
   ukupno = 
    Complement[Union[nule1, nule2], Intersection[nule1, nule2]];
   ukupno = IzbaciRealne[ukupno];
   duz = Length[ukupno];
   For[i = 1, i <= duz, i++,
    pol *= (x - ukupno[[i]]);
    ];
   ostatak = PolynomialRemainder[P, pol, x];
   koef = CoefficientList[ostatak, x];
   nule = Table[0, {Length[koef]}];
   res = {m, n} /. Solve[koef == nule, {m, n}][[1]];
   Return[res];
   ];


[Ovu poruku je menjao princip123 dana 09.04.2015. u 12:39 GMT+1]
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
*.ptt.rs.



+2789 Profil

icon Re: Zajednicke nule polinoma09.04.2015. u 13:57 - pre 109 meseci
Dakle, polinomi Q i R su tačno određeni i imaju samo jednu zajedničku nulu i to jednostruku, pa onda deljivost kvadratom prolazi.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: Zajednicke nule polinoma

[ Pregleda: 3782 | Odgovora: 5 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.