Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Racunanje koeficijenata minimalnog karakteristicnog polinoma

[es] :: Matematika :: Racunanje koeficijenata minimalnog karakteristicnog polinoma

[ Pregleda: 2685 | Odgovora: 7 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

mvlada1710
Beograd

Član broj: 306225
Poruke: 3
*.adsl.eunet.rs.



Profil

icon Racunanje koeficijenata minimalnog karakteristicnog polinoma26.08.2012. u 16:21 - pre 111 meseci
Postoji li neki metod za racunanje koeficijenata minimalnog polinoma, poput Leverrier-Faddeev metoda za racunanje koeficijenata karakteristicnog polinoma?
(Potebno mi je radi implementacije u nekom od programskih jezika)

 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8506
*.3gnet.mts.telekom.rs.



+2739 Profil

icon Re: Racunanje koeficijenata minimalnog karakteristicnog polinoma26.08.2012. u 21:09 - pre 111 meseci
Jedan od načina je da nađeš najmanji prirodan broj n takav da matrice E,A,...,An budu linearno zavisne. Naravno, numeričku grešku moraš da tolerišeš (vidi biblioteke za rad sa intervalnom algebrom, imaš je u boost-u ako koristiš C++). Drugi način je da nađeš Žordanovu kanonsku formu iz koje se lako vidi šta je minimalni polinom. Treći način je da faktorišeš karakteristični polinom, pa da jednom po jenom činiocu snižavaš stepen isprobavajući da li će matrica da ga poništi.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

mvlada1710
Beograd

Član broj: 306225
Poruke: 3
*.stub.rs.



Profil

icon Re: Racunanje koeficijenata minimalnog karakteristicnog polinoma27.08.2012. u 15:28 - pre 111 meseci
Citat:
Nedeljko:
Jedan od načina je da nađeš najmanji prirodan broj n takav da matrice E,A,...,An budu linearno zavisne. Naravno, numeričku grešku moraš da tolerišeš (vidi biblioteke za rad sa intervalnom algebrom, imaš je u boost-u ako koristiš C++). Drugi način je da nađeš Žordanovu kanonsku formu iz koje se lako vidi šta je minimalni polinom. Treći način je da faktorišeš karakteristični polinom, pa da jednom po jenom činiocu snižavaš stepen isprobavajući da li će matrica da ga poništi.


Mozes li da me uputis na literaturu za neku od navedenih metoda za koju mislis da je najlakse implementirati?
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8506
*.3gnet.mts.telekom.rs.



+2739 Profil

icon Re: Racunanje koeficijenata minimalnog karakteristicnog polinoma27.08.2012. u 15:52 - pre 111 meseci
Možda da odabereš faktorizaciju karakterističnog polinoma nad poljem koeficijenata karakterističnog polinoma, pa da svakom faktoru ponaosob skidaš stepen za po 1 dok ne dobiješ da ga matrica ne poništava, pa jedan korak unazad, pa isto to sa sledećim faktorom itd.

Što se faktorizacije tiče, vidi Kronekerov algoritam ili neko od njegovih poboljpanja.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8506
*.3gnet.mts.telekom.rs.



+2739 Profil

icon Re: Racunanje koeficijenata minimalnog karakteristicnog polinoma27.08.2012. u 16:28 - pre 111 meseci
Razmisli i o izražavanju An kao loinearnbe kombinacije od E,A,...,An-1 za najmanje moguće n.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8506
*.3gnet.mts.telekom.rs.



+2739 Profil

icon Re: Racunanje koeficijenata minimalnog karakteristicnog polinoma28.08.2012. u 11:24 - pre 111 meseci
Evo zašto to nemaš po standardnim paketima:

Male promene u koeficijentima matrice daju male promene u koeficijentima karakterističnog polinoma. Drugim rečima, karakteristični polinom je neprekidna funkcija matrice. U praksi to znači da će male greške u vršenju računskih operacija dati male greške u rezultatu.

Sa minimalnim polinomom to nije slučaj, jer se malim promenama koeficijenata matrice može promeniti čak i stepen minimalnog polinoma.

Primer: Matrica



ima minimalni polinom dok za bilo koje matrica



ima minimalni polinom .

E, sad, sa kakvim koeficijentima se matrice tebi javljaju? Ako su koeficijenti dati približno, cela priča nema smisla.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

mvlada1710
Beograd

Član broj: 306225
Poruke: 3
*.stub.rs.



Profil

icon Re: Racunanje koeficijenata minimalnog karakteristicnog polinoma28.08.2012. u 13:16 - pre 111 meseci
Ponadao sam se da postoji nesto slicno algoritmu Faddeev-Leverrier za racunanje koeficijenata karakteristicnog polinoma:
(za one koji ne znaju a zatreba im)

Trag matrice dat je sa:


Algoritam generise matrice i koristi njihov trag za racunanje koeficijenata



Onda je karakteristican polinom dat sa:




Sto se tice mog problema u pitanju su kvadratne matrice proizvoljnog reda sa realnim koeficijentima.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8506
*.3gnet.mts.telekom.rs.



+2739 Profil

icon Re: Racunanje koeficijenata minimalnog karakteristicnog polinoma28.08.2012. u 14:15 - pre 111 meseci
Rekao sam koji su razlozi zašto se to numerički ne radi.

Ja bih povećavao počev od 1, pa na gore po n1, sve dok ne nađem da je matrica linearna kombinacija matrica i odredio te koeficijente. To ti je sistem od linearnih jednačina po koeficijentima minimalnog polinoma, gde je red matrice (ne rang, nego je format matrice ). Korektno rešenje problema imaš samo ukoliko su ti koeficijenti matrice dati tačno, a ne približno i onda bi trebalo koristiti neku biblioteku za rad sa racionalnim brojevima u obliku brojilac/imenilac, pri čemu brojilac i imenilac mogu biti proizvoljno veliki celi brojevi. Jedna od takvih je GMP za C i C++. No, jednostavnije rešenje ti je da koristiš intervalnu algebru iz boost biblioteke, pa da sistem linearnih jednačina rešavaš nekim stabilnim metodom, na primer Gausov metod sa potpunim pivotiranjem, pri čemu ne vršiš delenje nijednim intervalom koji sadrži nulu, jer tu vrednost tretiraš kao nulu. E, onda ako dobiješ da je minimalni polinom nižeg stepena od karakterističnog, to znači da unutar računa te tačnosti ne sledi da je minimalni polinom višeg stepena. Ovo ti je samo uslovno korektno rešenje, a sve zbog činjenica koje sam opisao u prethodnoj poruci.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: Racunanje koeficijenata minimalnog karakteristicnog polinoma

[ Pregleda: 2685 | Odgovora: 7 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.