Odrediti ugao ne koristeći trigonometriju

Nedavno pronađoh, zaboravljen u nekoj knjizi, papir na kojem sam, pre n godina, zapisao zadatak iz geometrije koji sam negde video. Pošto je ovaj zadatak sličan zadacima iz mojih pređašnjih postova, postavljam sliku tog zadatka u novoj temi. S napomenom da za rešavanje zadatka nije neophodna trigonometrija.

Ja došao dovde i ni makac dalje….

Zadatak može da se reši korišćenjem pomoćnih figura.
Na stranici AC uočimo tačku T, tako da je , ...

Ja nekako ovako:

1 Prvo povučem pravu kroz tačku B paralelnu AC ne bih li dobio ugao 20 stepeni sa spoljne strane trougla i duži AB ..
2 Onda iz tačke D šestarom prenesem dužinu DE i gde preseče pravu obeležom tačku E'
3 Trouglovi BDE i BDE' su slični, jer imaju po ugao od 20 stepeni, zajedničku stranicu BD, i stranice istih dužina DE i DE'
4 Zbog toga je i ugao BE'D isto jednako X ...

.. pauza ..

5 Zatim preslikam ugao 50 stepeni sa donje strane trougla iz tačke C, i nacrtam pravu koja je pod 50 stepeni u odnosu na duž BC ..
6 Onda prenesem dužinu BE' iz tačke B na tu novu liniju, i gde je šestar preseče obeležim E"



E sad .. ako mi se prizna - prizna: .. Trougao CBE" i četvorougao CBE'D imaju nekoliko zajedničkih stvari: po jedan ugao od 50 stepeni, zajedničku stranicu BC, stranice iste dužine BE' i BE", i po jedan ugao X .. zaključujem da je to jedino moguće ako struktura CBE'D u stvari nije četvorougao, to jest tačka D se nalazi tačno na pravcu CE', tj to nisu dve stranice CD i DE' koje su postavljene pod različitim uglovima jedna u odnosu na drugu, nego je to jedna stranica CE' na kojoj se između te dve tačke nalazi tačka D.

To jest da crtež zapravo tačno nacrtan izgleda ovako: CDE' su na jednoj liniji, isto kao i ADBE", a odavde je lako izračunati, tj pročitati iz više trouglova, i četvorouglova, da ugao X iznosi tačno 30 stepeni.



Edit: Pih, nije dobro, isto kao što u jednom delu nemam potvrdu da su C, D i E' na jednoj liniji, pa sam zato docrtavao CBE", nisam ničim pokazao da je ugao BE"C jednak X .. tjah .. a koliko ispisah ..

A za kad' ti treba?

Potpis

1312

Svi koji me ne gotive mogu da mi se napasu čmarne flore!

Simpatično, da pokušam ja: pretpostaviću da X jeste 20 stepeni:

"U matematici dokazi često počinju sa "pretpopstavimo da nije".

Za promenu pretpostavim da ugao x jeste 20 stepeni.

Tada je ugao BDE = 140 stepeni.
Pa je ugao ADE = 40 stepeni.
Onda je ugao AED = 120 stepeni.
Iz činjenice da je ugao BEC = 40 stepeni
sledi da je zbir uglova AED, x i BEC opružen ugao.

Bez trigonometrije."

Pošto od izbora vrednosti X zavise i svi ostali nedostajući uglovi koje dobijaš na osnovu te vrednosti, samo dokazuješ da je AEC opružen ugao, a što smo znali i ranije, ali ne i koliko je X stvarno ...

Ne bih rekao, u samoj postavci zadatka tačka E je na stranici AC, i ne može se mrdati odatle.

Ne mislim da je ugao X 20 stepeni, samo da tvojim postupkom nije dokazano da je 30.

Meni Gemini uz četiri pod pitanja izračunao da je ugao BED 30 stepeni….


Dodatnu zabunu pravi ova slika koja uopšte ne predstavlja vizuelno dobre uglove i stranice.

Na žalost, u vezi sa ovim zadatkom, "videti da se poklapa", i dovoljno blizu" se ne računaju kao odgovori. Kao ni fiksiranje nekih delova konstrukcije koji nam odgovaraju, i "kretanje tačaka" tj. antifiksiranje tamo gde bi nam odgovaralo.

Moja primedba na tvoje rešenje je da možeš upisati bilo koju vrednost za x, pa i konstruktabilnu, kao 30, ili 22,5 ili 45 i uvek ćeš doći do zaključka da konstrukcija može da postoji, i da je ugao AEC opružen, ali ne i koliko je X. Kao na slici:





To, što bi rekli, nisi bio u obavezan ni do sad :)

Slika je super, namerno je pokrivljena, da se ne bi neko kao ja kad vidi nešto naočigled zaleteo da usvoji nešto a da još uvek nema dokaz, pa se opet zeznem .. Rekao bih da je jans napravio najpribližniju moguću konstrukciju, a onda je suzio po vertikali za 10 ili 20%.

Ako je jedan ugao u trouglu 20, drugi 80, treći mora biti isto 80 pa je trougao jednakokraki, nema potrebe za brojanjem kockica, a ni za dokazom ..

Bitan trougao je BCD a on je bitno izdeformisan i odvlači pažnju a ima dva ista ugla 50* i dve iste stranice. Bitan za dokazivanje.

Upravo ovo i jeste nacin. Nadalje se svodi na klasicnu skrivalicu, u stilu: pronadjite koliko majmuna vidite na slici. U ovom slucaju majmuni su trouglovi. :-)

Najpre odredimo ugao ACB. Posto je CBA = 60+20 = 80 stepeni, a BAC = 20, sledi da je BCA = 180 - 80 - 20 = 80 stepeni, iz cega se zakljucuje da je AB = AC, odnosno da je trougao ABC jednakokrak.

Takodje, uglovi ABE = BAE = 20 stepeni, sto znaci da je ugao BEA = 140 stepeni, odnosno da je: BEC = 40 stepeni (1)

Posto je DCA = 30 stepeni (zadato), sledi da je BCD = 50 stepeni. (2)

Ako se tacka T postavi na duz AC tako da je ugao CBT = 20 stepeni, a znamo da je BCT = BCA = 80 stepeni, tada je ugao CTD = 180 - 20 - 80 = 80 stepeni, pa je BC = BT (3)

Ako je CBT = 20 stepeni, tada je ugao TBD = 60 stepeni, jer je CBA = 80, a CBT = 20. Znaci, TBD = 60 (4)

S druge strane, znamo da je CAD = 20 (zadato), a ACD = 30 (zadato), iz cega sledi da je CDA = 180 - 20 - 30 = 130 stepeni, pa je ADC = 50 stepeni (5)

Iz (2) i (5) sledi da je trougao CBD jednakokrak, s uglom temena 80 stepeni i druga dva ugla od po 50 stepeni, odnosno da vazi: BC = BD (6).

Posto smo u (3) dokazali da je BC = BT, znaci da je BT = BD, sto daje zakljucak da je trougao BTD jednakokrak, s temenim uglom od 60 stepeni, a jednakokrak trougao s uglom temena od 60 stepeni je jednakostranican, pa vazi:

BC = BD = CD (7)

Odnosno, da je ugao BTD = ADT = 60 stepeni (8)

Uocimo sada trougao BET. Ugao EBT = CBA - DBE - TBC = 80 - 20 - 20 = 40 stepeni. Posto je BET takodje 40 stepni, sledi da je trougao BET jednakokrak s temenom u tacki T, odnosno da je TE = TB, pa vazi:

TE = TB = TD = BD = BC

U ovoj jednakosti bitan detalj je TE = TD, iz cega zakljucujemo da je trougao TDE jednakokrak s temenom u tacki T i uglom temena od 40 stepeni, iz cega dobijamo da su uglovi na osnovi (180-40)/2 = 70 stepeni.

Znaci: DET = TDE = 70 stepeni (9)

Iz (1) i (9) dobijamo: x = DEB = DET - BET = DET - BEA = 70 - 40 = 30 stepeni

Slede slike:

@svojnasvome

Ako pomeraš tačku A menjaju se uglovi…

Uz par slovnih grešaka:



ADC nije 50 stepeni, nego 130, 50 stepeni je BDC



Poslednja stranica jednakostraničnog trougla nije CD, nego TD



I opet nije ADT jednako 60, nego BDT ... znači ništa ne valja, evo slika za lakše praćenje ..



Šalim, se šalim, vidi se iz konteksta da si samo permutovao slova, svaka čast, ja nisam uspeo da rešim ni pored jansovog uputstva.

@MajorFatal

Svaka cast na pazljivom citanju. :-) Da, ima jos jedan typo:

Ovo crveno je visak, ocigledno.