Citat:
jans:
Zadatak može da se reši korišćenjem pomoćnih figura.
Na stranici
AC uočimo tačku
T, tako da je
, ...
Upravo ovo i jeste nacin. Nadalje se svodi na klasicnu skrivalicu, u stilu: pronadjite koliko majmuna vidite na slici. U ovom slucaju majmuni su trouglovi. :-)
Najpre odredimo ugao ACB. Posto je CBA = 60+20 = 80 stepeni, a BAC = 20, sledi da je BCA = 180 - 80 - 20 = 80 stepeni, iz cega se zakljucuje da je AB = AC, odnosno da je trougao ABC jednakokrak.
Takodje, uglovi ABE = BAE = 20 stepeni, sto znaci da je ugao BEA = 140 stepeni, odnosno da je:
BEC = 40 stepeni (1)
Posto je DCA = 30 stepeni (zadato), sledi da je
BCD = 50 stepeni. (2)
Ako se tacka T postavi na duz AC tako da je ugao CBT = 20 stepeni, a znamo da je BCT = BCA = 80 stepeni, tada je ugao CTD = 180 - 20 - 80 = 80 stepeni, pa je
BC = BT (3)
Ako je CBT = 20 stepeni, tada je ugao TBD = 60 stepeni, jer je CBA = 80, a CBT = 20. Znaci,
TBD = 60 (4)
S druge strane, znamo da je CAD = 20 (zadato), a ACD = 30 (zadato), iz cega sledi da je CDA = 180 - 20 - 30 = 130 stepeni, pa je
ADC = 50 stepeni (5)
Iz (2) i (5) sledi da je trougao CBD jednakokrak, s uglom temena 80 stepeni i druga dva ugla od po 50 stepeni, odnosno da vazi:
BC = BD (6).
Posto smo u (3) dokazali da je BC = BT, znaci da je BT = BD, sto daje zakljucak da je
trougao BTD jednakokrak, s temenim uglom od
60 stepeni, a jednakokrak trougao s uglom temena od 60 stepeni je
jednakostranican, pa vazi:
BC = BD = CD (7)
Odnosno, da je ugao
BTD = ADT = 60 stepeni (8)
Uocimo sada trougao BET. Ugao EBT = CBA - DBE - TBC = 80 - 20 - 20 = 40 stepeni. Posto je BET takodje 40 stepni, sledi da je trougao BET jednakokrak s temenom u tacki T, odnosno da je TE = TB, pa vazi:
TE = TB = TD = BD = BC
U ovoj jednakosti bitan detalj je
TE = TD, iz cega zakljucujemo da je trougao TDE jednakokrak s temenom u tacki T i uglom temena od 40 stepeni, iz cega dobijamo da su uglovi na osnovi (180-40)/2 = 70 stepeni.
Znaci:
DET = TDE = 70 stepeni (9)
Iz (1) i (9) dobijamo:
x = DEB = DET - BET = DET - BEA = 70 - 40 = 30 stepeni
Slede slike:
Odrediti ugao ne koristeći trigonometriju
Registrovani: 2 ( tbbok, whitie2004 )
