Odrediti ugao ne koristeći trigonometriju

Dat je trougao ABC sa uglom od 20 stepeni u temenu A. Tacka D se nalazi na duzi AB izmedju tacaka A i B. Tacka E se nalazi na duzi AC izmedju tacaka A i C. Ugao CBE je 60 stepeni. Ugao DBE je 20 stepeni. Ugao DCE je 30 stepeni. Odredi ugao BED.

Neka je ugao kod tačke A jednak 20 stepeni, pa su kraci AB i AC takvi da je pravac AD na AB, a pravac AE na AC.

Prvo: pošto je tačka D na duži AB, a tačka E na duži AC, dobijamo da pravci AD i AB prave isti ugao sa pravcem AC, odnosno pravci AE i AC prave isti ugao sa pravcem AB. To znači da pravac AD “zatvara” sa pravcem AE ugao 20 stepeni.

Zatim radimo oko tačke B. Zadat je ugao između pravaca BC i BE jednak 60 stepeni. Zadat je i ugao između pravaca BD i BE jednak 20 stepeni. Pošto je BE razdvajač između BD i BC, ugao između BD i BC je razlika tih uglova, pa iz toga sledi da je ugao između BD i BC jednak 40 stepeni.

Sada pređemo na traženi ugao kod tačke E. Ugao koji tražimo je ugao između pravaca EB i ED. Ugao između EB i ED je jednak onom uglu koji je “odgovarajući” uglu između pravaca BC i BD, jer pravci ED i BC zatvaraju isti ugao zbog zadatog položaja tačaka D i E na AB i AC i dodatnog uslova da pravac CD zatvara ugao od 30 stepeni sa pravcem DE (taj uslov fiksira orijentaciju zraka ED tako da traženi ugao bude jednak dobijenom razlomku oko tačke B).

Dakle traženi ugao BED jednak je 40 stepeni.

Odgovor: 40 stepeni.