[Zadatak]: Funkcija na pravilnim n-uglima

Neka je funkcija koja tačkama u ravni pridružuje realne brojeve takva da za svaki pravilni -ugao (gde je unapred zadato) važi . Dokazati da je .

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Evo rešenja za (lagano je, a i verovatno nema mnogo veze sa opštim postupkom, pa nikome neću pokvariti užitak...).

Izaberemo proizvoljnu tačku u ravni i proizvoljan realan broj . Konstruišemo pravilan šestougao, poluprečnika , sa centrom u . Neka su susedna temena označena sa , tako da je: , . Spojimo svako od njih sa tačkom i dobili smo 6 jednakostraničnih trouglova.

Neka je , i .
Na osnovu uslova zadatka, dobijamo da mora biti:





E sad, lako je videti da je jednakostraničan trougao, pa sledi:
tj. .

Iz proizvoljnosti tačke sledi tvrđenje.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Da pokušam sada opšti slučaj.

Neka je u ravni dat proizvoljan pravilan -ugao : . Generisaćemo pomoću njega još pravilnih -uglova i dokazati da je .

Za svako fiksirano , rotirajmo tačku oko tačke za svaki od uglova , . Označimo sa sliku tačke pri rotaciji za ugao .Time smo dobili pravilneuglove (svestan sam da je prvi navedeni poligon u stvari samo jedna tačka):







Iz uslova zadatka sada sledi da je:






Uočimo još neke pravilne -uglove:






Iz uslova zadatka sledi:






Pa ako saberemo poslednji niz jednakosti imaćemo:

ali iz prvog niza jednakosti sledi da je svaka od unutrašnjih suma jednaka 0, pa smo dobili da je .

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

To je to, bravo.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.