Integral metodom zamene

Integral metodom zamene 06.02.2005. u 02:03 · pre 264 meseci #1

Vezbam nesto matematiku, imam problem sa jednim integralom na koji sam naisao ucheci metodu zamene:

integral od (4x + 3) *dx / (x^2 + x - 6)... Probao sam ga na vise nacina, i znam da ima neka fora sigurno, pa neka me neko "prosveti"... Uvek mi resenje za malo izmiche...

Re: Integral metodom zamene 06.02.2005. u 17:20 · pre 264 meseci #2

I ja sam pokusao na vise nacina da uradim zadatak ali ne ide.

na primer:
izraz bi mogao da se rastavi na

2*"int"(2x+1)dx/(x^2+x-6) + "int"dx/(x^2+x-6).

za prvi deo se koristi smena

x^2+x-6=t, (2x+1)dx=dt,
i dobijamo

2*"int"dt/t sto je tablicni integral

a za drugi deo nemam resenje, bar ne za sad.

Potpis

If noone kills you, do it yourself!!!
Life can be brutal!!!!!

Re: Integral metodom zamene 06.02.2005. u 17:26 · pre 264 meseci #3

I ako imas negde resenje, probaj obrnutim postupkom da dodjesh do postavke zadatka, pa mozda i otkrijes na koji nacin se resava!!!!!!

Potpis

If noone kills you, do it yourself!!!
Life can be brutal!!!!!

Re: Integral metodom zamene 06.02.2005. u 17:38 · pre 264 meseci #4

x^2+x-6 = (x-2)(x+3)

... dalje je lako

resenje je 1/5 (11 ln|x-2|+9 ln|x+3|)

Potpis

Shoutcast striming za online radio stanice
http://shout-cast.tk
Rešeni zadaci sa prijemnih ispita
http://matematika-012.tk

Re: Integral metodom zamene 06.02.2005. u 17:59 · pre 264 meseci #5

Generalno, integrali funkcije tipa ${mx+n \over ax^2 + bx +c}, ~m\neq 0,~a\neq 0$ se rešavaju na sledeći način:

Prvo se gore izdvoji deo koji je izvod donjeg izraza, kao što je baziboy to uradio, i taj integral se smenom $t = ax^2 + bx +c$ svodi na tablični (ln).

Ostatak, tj. nešto oblika $pdx \over ax^2 + bx +c$ se radi dovođenjem kvadratnog trinoma u kanonski oblik, $a(x-\alpha)^2 + \beta$ . Ako je $a \cdot \beta > 0$ , svodi se na arctg smenom $t = \sqrt{a \over \beta}(x-\alpha)$ . Ako je $a \cdot \beta \leq 0$ , kvadratni trinom se može rastaviti. Ako je nula dvostruka ( $\beta = 0$ ), onda je smena prosto $t = x - \alpha$ . Ako nije, onda se radi kao integral racionalne funkcije, ali se svakako svodi na neki ln.

Re: Integral metodom zamene 11.02.2005. u 17:49 · pre 264 meseci #6

$\frac {4x+3}{x^2+x-6} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3}=\frac{x(A+B)+3A-2B}{x^2+x-6}$
Dobijamo A+B=4, 3A-2B=3. Rešimo i... A=11/5, B=9/5
$\int \frac{4x+3}{x^2+x-6} dx=\frac{11}{5} \int \frac{dx}{x-2}+\frac{9}{5} \int \frac{dx}{x+3}.$

Ovo ti je jedan od osnovnih metoda rešavanja integrala. Oblast se zove Integracija racionalnih funkcija i od svih ona ti je NAJVAŽNIJA te je radiš PRVU.

Srodne teme