miki069
Prvi način:
1. Izabereš proizvoljno q<1.
2. Nađeš a i b takve da važi a<b i |f(x)|>q za sve x iz (a,b).
3. Prema Lagranževoj teoremi postoji c iz (a,b) takvo da je (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c).
4. Prema tački 3, broj c pripada intervalu (a,b).
5. Prema tačkama 2 i 4, važi |f'(c)|>q.
6. Prema tački 3, važi (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c).
7. Prema tački 6, važi |f(b)-f(a)|/|b-a|=|f'(c)|.
8. Prema tačkama 5 i 7, važi |f(b)-f(a)|/|b-a|>q.
9. Prema tački 8, važi |f(b)-f(a)|>q|b-a|.
10. Prema tački 9, f nije kontrakcija.
Drugi način (opštiji):
1. Izabereš proizvoljno q<1.
2. Nađeš a takvo da važi |f'(a)|>q.
3. Prema tački 2 i prema definiciji izvoda, postoji limes od (f(b)-f(a))/(b-a) kada b teži beskonačnosti i taj limes (koji obeležavamo sa f'(a)) je po apsolutnoj vrednosti veći od q.
4. Prema tački 3, postoji b različito od a, takvo da je (f(b)-f(a))/(b-a) po apsolutnoj vrednosti veće od q. Ta vrednost može biti manja od |f'(a)|, ali je i dalje veća od q. Zato mora biti |f'(a)|>q, da bi i nešto manje vrednosti od |f'(a)| takođe bile veće od q.
5. Prema tački 4, važi |f(b)-f(a)|/|b-a|>q.
6. Prema tački 5, važi |f(b)-f(a)|>q|b-a|.
7. Prema tački 6, f nije kontrakcija.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki
