Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki

Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 15.10.2020. u 18:34 · pre 73 meseca #1

Da li je funkcija f(x)=acrtg(x) na intervalu [-1,1] kontrakcija? Znam definiciju kontrakcije i znam Lagranzovu teoremu. Mislim da se ne moze zakljuciti da jeste kontrakcija na osnovu prvog izvoda i Lagranzove teoreme. Kvantifikatori "postoji" i "svako" ne mogu da komutiraju. Ne tvrdim da nije kontrakcija. Cak 99.99% sam ubedjen da jeste. Dokaz nedostaje.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 15.10.2020. u 19:53 · pre 73 meseca #2

Nije kontrakcija ni na jednom domenu kome je 0 jedna od tačaka nagomilavanja.

Neka je $D\subseteq R$ , $0\in D'$ i $f:D\longrightarrow R$ definisano sa $f(x)=\arctan(x)$ .

Neka je $q<1$ . Postoji $\varepsilon>0$ takvo da je $\frac 1{1+x^2}>q$ za sve $x\in(-\varepsilon,\varepsilon)$ . Neka su $a$ i $b$ različite tačke iz skupa $(-\varepsilon,\varepsilon)\cap D$ i neka je $a<b$ . Tada za neko $c\in(a,b)$ važi

$\left|{f(b)-f(a)\over b-a}\right|=\left|{\arctan(b)-\arctan(a)\over b-a}\right|=|\arctan'(c)|=\left|{1\over 1+c^2}\right|={1\over 1+c^2}>q$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 15.10.2020. u 21:08 · pre 73 meseca #3

Postoje li konkretni a i b koji ovo potvrdjuju? Da nije kontrakcija.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 16.10.2020. u 02:12 · pre 73 meseca #4

Naravno da postoje, ali oni zavise od $q$ .

Recimo, primenom prethodnog računa se može dobiti primer

$a=0$ , $b=\sqrt{1-q\over q}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 16.10.2020. u 07:36 · pre 73 meseca #5

Menjao sam q od 0.1 do 0.99 sa korakom 0.01.

Primer ne može da se napravi.

Uvek ispada da je f(b)-f(a) manji od b-a, što ide ka potvrdi kontrakcije.

Tabela u excelu je u prilogu.

arctg.xlsx19.04k

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 16.10.2020. u 15:17 · pre 73 meseca #6

Definicija kontrakcije je da postoji neko $q<1$ takvo da za sve $a,b$ važi $|f(b)-f(a)|\leq q|b-a|$ . Nije dovoljno da bude $|f(b)-f(a)|<|b-a|$ za sve međusobno različite $a$ i $b$ .

(a) Uslov $|f(b)-f(a)|<|b-a|$ za sve međusobno različite $a$ i $b$

znači da je

$\left|{f(b)-f(a)\over b-a}\right|<1$ za sve međusobno različite $a$ i $b$ .

Međutim, definicija kontrakcije znači da je

(b) $\sup_{a\neq b}\left|{f(b)-f(a)\over b-a}\right|<1.$

Pogledaj dobro definiciju kontrakcije. Recimo, funkcija

$f:R\longrightarrow R$ definisana sa $f(x)={x^2\over 1+x^2}$

ima izvod koji je uvek po modulu manji od 1, tako da je uslov (a) ispunjen, ali nema fiksnu tačku, pri čemu je skup realnih brojeva kompletan.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 16.10.2020. u 19:52 · pre 73 meseca #7

Pitanje je bilo za f(x)=arctg(x) da li je kontrakcija ili ne? Izlozen je dokaz da nije. Konkretan primer za to ne postoji. Po negaciji definicije kontrakcije bi za svako q trebao da postoje a i b tako da vazi f(b)-f(a) >= b-a. Ja ne znam da nadjem q ili on ne postoji? Ako se tvrdi da nije kontrakcija potrebno je dati konkretne a i b kao kontraprimer.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 16.10.2020. u 21:13 · pre 73 meseca #8

Ti jednostavno ne razumeš definiciju kontrakcije. Ne treba da važi $|f(b)-f(a)|\geq|b-a|$ , već $|f(b)-f(a)|\geq q|b-a|$ .

Neka je na primer $q=0,99$ . Izaberi $a=0$ , $b=0.1$ .

$\arctan(b)-\arctan(a)=0.09966865$ ,
$q(b-a)=0.99$ .

$\arctan(b)-\arctan(a)>q(b-a)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 16.10.2020. u 21:33 · pre 73 meseca #9

Razumem definiciju. Nisam razumeo negaciju definicije.
Sve je jasno. Hvala.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 16.10.2020. u 22:27 · pre 73 meseca #10

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 17.10.2020. u 11:33 · pre 73 meseca #11

U negaciji sam zaboravio to q kod (b-a). Sve je jasno. Hvala jos jednom.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 17.10.2020. u 12:13 · pre 73 meseca #12

Pokusavam za f(x)=x+1/x na intervalu [1,+beskonacno). Ali mi ne ide dokaz da jeste niti da nije kontrakcija.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 17.10.2020. u 14:10 · pre 73 meseca #13

Kada je funkcija definisana na intervalu i diferencijabilna, onda je potrebno i dovoljno da supremum modula izvoda bude manji od 1, što ovde nije slučaj. Za ma koje q<1 postoji interval na kome je moduo izvoda veći od q, pa izaberi par tačaka na tom intervalu.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 17.10.2020. u 16:55 · pre 73 meseca #14

Biram da je a uvek 1, a onda b racunam kao 1+c, gde sam c dobio iz izvoda, to jest c=sqrt(1/(1-q))? Mozda gresim u racunu.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 19.10.2020. u 10:39 · pre 73 meseca #15

Evo tabele u kojoj je q menjan od 0.001 do 0.999, sa korakom od 0.001, koja ide u prilog Nedeljkovom dokazu da arkustangens nije kontrakcija u okolini nule.

arctg-2.xlsx123.44k

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 19.10.2020. u 11:36 · pre 73 meseca #16

Ne treba da biraš 1, nego se za q bira manja vrednost od 1, a onda se pronalaze a, b tako da bude |f(b)-f(a)|/|b-a|>q.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 19.10.2020. u 20:01 · pre 73 meseca #17

Znaci ne koristim c iz Lagranzove teoreme za lociranje a i b? Ne mogu nikako da navatam kako da nadjem a i b. Sa arctg je bilo lakse jer je a bio uvek nula. Ako moze jedan primer.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 19.10.2020. u 20:10 · pre 73 meseca #18

Citat:

miki069:
Pokusavam za f(x)=x+1/x na intervalu [1,+beskonacno). Ali mi ne ide dokaz da jeste niti da nije kontrakcija.

Zdravo.

Kako je $[1,+\infty)$ kompletan prostor u (nasledjenoj) euklidskoj metrici (kao zatvoren potprostor od $\mathbb{R}$ ), to ako bi $f$ bila kontrakcija to bi onda postalo $x_0\in [1,+\infty)$ sa svojstvom $f(x_0)=x_0$ . No ova poslednja jednacina ocito nema resenje u $[1,+\infty).$ Dakle, $f$ ne moze biti kontrakcija.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 19.10.2020. u 20:33 · pre 73 meseca #19

miki069

Prvi način:

1. Izabereš proizvoljno q<1.

2. Nađeš a i b takve da važi a<b i |f(x)|>q za sve x iz (a,b).

3. Prema Lagranževoj teoremi postoji c iz (a,b) takvo da je (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c).

4. Prema tački 3, broj c pripada intervalu (a,b).

5. Prema tačkama 2 i 4, važi |f'(c)|>q.

6. Prema tački 3, važi (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c).

7. Prema tački 6, važi |f(b)-f(a)|/|b-a|=|f'(c)|.

8. Prema tačkama 5 i 7, važi |f(b)-f(a)|/|b-a|>q.

9. Prema tački 8, važi |f(b)-f(a)|>q|b-a|.

10. Prema tački 9, f nije kontrakcija.

Drugi način (opštiji):

1. Izabereš proizvoljno q<1.

2. Nađeš a takvo da važi |f'(a)|>q.

3. Prema tački 2 i prema definiciji izvoda, postoji limes od (f(b)-f(a))/(b-a) kada b teži beskonačnosti i taj limes (koji obeležavamo sa f'(a)) je po apsolutnoj vrednosti veći od q.

4. Prema tački 3, postoji b različito od a, takvo da je (f(b)-f(a))/(b-a) po apsolutnoj vrednosti veće od q. Ta vrednost može biti manja od |f'(a)|, ali je i dalje veća od q. Zato mora biti |f'(a)|>q, da bi i nešto manje vrednosti od |f'(a)| takođe bile veće od q.

5. Prema tački 4, važi |f(b)-f(a)|/|b-a|>q.

6. Prema tački 5, važi |f(b)-f(a)|>q|b-a|.

7. Prema tački 6, f nije kontrakcija.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 19.10.2020. u 21:05 · pre 73 meseca #20

Jasniji mi je prvi nacin. U tacki 2. pise |f(x)| > q. Mislim da treba da bude |f'(x)|>q.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme