Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 19.10.2020. u 23:36 · pre 73 meseca #21

Da, treba.

Što se drugog načina tiče, neka je

$\lim_{b\rightarrow a}g(b)=L>q$ .

Za ma koje $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ takvo da za svako $b\in[a-\delta,a+\delta]$ važi $|g(b)-L|<\varepsilon$ . Tada zbog $L-q>0$ stavljajući $\varepsilon=L-q$ zaključujemo da postoji $b$ takvo da je

$|g(b)-L|<L-q$ ,

a samim tim i

$L\leq|L-g(b)|+|g(b)|$ ,
$|g(b)|\geq L-|L-g(b)|>L-(L-q)=q$ ,
$|g(b)|>q$ .

Dakle, pošto je $L>q$ , a $g(b)$ može biti po želji blisko $L$ (na osnovu izbora $L$ i definicije limesa), a ako je tako, onda je i $g(b)>q$ .

Ovde je naravno $g(b)={|f(b)-f(a)|\over|b-a|}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 20.10.2020. u 07:23 · pre 73 meseca #22

Jasan mi je i drugi način, ali je prvi praktičniji za realizaciju u Excelu.

U prilogu je tabela koja demonstrira da f(x) = x+1/x nije kontrakcija na interalu [1, + beskonačno).
Rađeno je za q od 0.001 do 0.999 sa korakom 0.001.

X plus 1 sa X.xlsx111.09k

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 20.10.2020. u 11:13 · pre 73 meseca #23

Funkcija f(x) = x+1/x bi na na interalu [1, 5] bila kontrakcija.

Najveća vrednost prvog izvoda na tom intervalu je 24/25 i onda bi to mogli da uzmemo za q.

Ali opet ne bi mogao da se primeni Banahov stav o fiksnoj tački jer ona interval [1, 5] ne slika u samog sebe, već u interval [2, 5.2].

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 20.10.2020. u 12:41 · pre 73 meseca #24

Nedeljko hvala puno. Uspeo sam konačno da rasčistim dileme oko kontrakcije i Banahovog stava.
Izgleda da se to na MATF u Beogradu radi dosta kvalitetno ili si ti to sve samostalno provalio?

Na PMF-u u Kragujevcu, institut za matematiku i informatiku (IMI), to se radi dosta površno, čak vlro često i na granici ispravnosti.

Profesorka iz predmeta Funkcionalna analiza (treća godina, smer matematika) na predavenju izlaže dokaz da f(x)=artctg(x) jeste kontrakcija sa R+ na R+.
Pogledati Primer broj 15 na 8-moj strani njenog predavanja, koje je dato u prilogu.

I da jeste kontrakcija (diskutabilno je samo da li je 0 tačka nagomilavanja od R+), način na koji to dokazuje je pogrešan.
Zamenila je redosled kvantifikatorima postoji i za svako.

Konvergencija nizova.pdf173.76k

Re: Kontrakcija i primena Banahovog stava o fiksnoj tacki 20.10.2020. u 23:37 · pre 73 meseca #25

Pa, ne znam, kod nas je pokojni profesor Dragoljub Aranđelović radio te osnovne stavove oko limesa i nejednakosti, tako da ako je neki limes veći od q, onda je za neku vrednost promenljive iz graničnog procesa vrednost izraza pod limesom takođe veći od q.

U skripti je greška. Treba se obratiti autorki i reči joj da je tu greška i da $c$ zavisi od $x$ i $y$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme