Citat:
Nedeljko:
Može li sada neko da dokaže, da za svaku osnovu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/03af8c4d4ec21f75b139b3b67635d1e3.png)
i za svaku ne-nula cifru
![](https://static.elitesecurity.org/tex/162e17683e44ac666fd1765a4dc8732f.png)
sistema sa sonovom
![](https://static.elitesecurity.org/tex/92e440f27bdf4c6d6b1b23402b249227.png)
postoji broj koji kada se zapiše u sistemu sa osnovom
![](https://static.elitesecurity.org/tex/92e440f27bdf4c6d6b1b23402b249227.png)
, premeštanjem poslednje cifre na prvo mesto se dobija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/162e17683e44ac666fd1765a4dc8732f.png)
puta veći broj?
Na isti nacin kako je miki069 prikazao za slucaj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9031d4bcb394dba75d2fde07fd7061d5.png)
, a istu formulu napisao i number42, moze se dobiti da je trazeni broj jednak
![](https://static.elitesecurity.org/tex/040ad6f0dd7cbf2caee7dc2800da25a9.png)
. Dovoljno je pokazati da uvek postoji n takvo da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/8ce532a16a98b3aed31f0d43160f57ab.png)
deljivo sa
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d0592ab31bd6866cf17f381f70d21e7c.png)
, iako bi naravno moglo da se desi i da
![](https://static.elitesecurity.org/tex/162e17683e44ac666fd1765a4dc8732f.png)
ima zajednicki faktor sa imeniocem. Samo da napomenem da ako se dozvoli da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/01c4e2ff42f9d21fce6d30ed15b27130.png)
zadatak je trivijalan (resenje je uvek 11, a ako se dozvoli jednocifren broj, onda i 1).
Naravno, uslov ce biti ispunjen ako je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e46da6975cd2936dab25ab38a5626101.png)
po modulu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d0592ab31bd6866cf17f381f70d21e7c.png)
. U opstem slucaju nije prost broj
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d0592ab31bd6866cf17f381f70d21e7c.png)
pa umesto Fermaove teoreme, mozemo da koristimo
Ojlerovu. Treba samo pokazati da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9aa22aef0e5a51bfff5a33cf4b30011c.png)
ali to je jednako
![](https://static.elitesecurity.org/tex/a6c40e68a163d39654af4cf0e1e63cba.png)
.
Dakle, to su uvek uzajamno prosti brojevi, pa se primenom Ojlerove teoreme nalazi da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/2cfe866977580fcb63c2fab8f20e19b7.png)
gde je
Ojlerova funkcija koja predstavlja broj uzajamno prostih brojeva sa k, koji su manji od k. U slucaju da je bd-1 prost broj, kao u prvoj postavci ovog zadatka,
![](https://static.elitesecurity.org/tex/6246395cee2452f6ece8f1fa62f62ea0.png)
jer su svi brojevi manji od prostog broja p uzajamno prosti za njim.