tacno ili netacno: 24 casa

Re: 13. pitanje.............. 10.07.2013. u 17:28 · pre 162 meseca #81

odgovor na 13. zadatak

Citat:

n=Pt/Ot

svaki ceo pozitivan broj se moze napisati kao odnos povrsine i obima nekog trougla cije su stranice celi brojevi.

tacno il ne?

tacno.

stranice tog trougla, ako nisam nesto pogresno prepisao iz ovih mojih zvrljotina iz sveske, bi trebalo da budu

a=n+2
b=n(n+1)/2
c=n(n+1)

Re: tacno ili netacno: 24 casa 10.07.2013. u 18:05 · pre 162 meseca #82

Zadatak je postavljen ovde

http://www.elitesecurity.org/p3320067

Ima oko četiri ipo sata do objavljivanja rešenja. Tvoj zadatak možda niko nije rešavao zato što si ga postavio, a da prethodni nisi rešio. Ponudio si netačan odgovor.

Uostalom, ni rešenje ovog ti nije tačno, jer na primer za n=3 dobijaš da su stranice a=5, b=15 i c=30, koje ne odgovaraju nijednom trouglu jer nije a+b>c.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 10.07.2013. u 18:26 · pre 162 meseca #83

Inače, jedno od tačnih rešenja tog zadatka je

a=5n,
b=12n,
c=13n.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 10.07.2013. u 18:40 · pre 162 meseca #84

eto ko hoce da postavi 14. zadatak.

a mogli bi i nesto lakse, da se ukljuci veci broj ljudi, da se dobiju dodatne perspektive posmatranja zadataka, i sl.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 10.07.2013. u 22:35 · pre 162 meseca #85

Citat:

Nedeljko:
Može li sada neko da dokaže, da za svaku osnovu $b\geq 2$ i za svaku ne-nula cifru $d$ sistema sa sonovom $b$ postoji broj koji kada se zapiše u sistemu sa osnovom $b$ , premeštanjem poslednje cifre na prvo mesto se dobija $d$ puta veći broj?

Na isti nacin kako je miki069 prikazao za slucaj $b=10$ , a istu formulu napisao i number42, moze se dobiti da je trazeni broj jednak $\frac{d \cdot (b^n - 1)}{d \cdot b - 1}$ . Dovoljno je pokazati da uvek postoji n takvo da je $b^n - 1$ deljivo sa $d \cdot b - 1$ , iako bi naravno moglo da se desi i da $d$ ima zajednicki faktor sa imeniocem. Samo da napomenem da ako se dozvoli da je $d=1$ zadatak je trivijalan (resenje je uvek 11, a ako se dozvoli jednocifren broj, onda i 1).

Naravno, uslov ce biti ispunjen ako je $b^n \equiv 1$ po modulu $d \cdot b - 1$ . U opstem slucaju nije prost broj $d \cdot b - 1$ pa umesto Fermaove teoreme, mozemo da koristimo Ojlerovu. Treba samo pokazati da je $NZD(b, db - 1)=1$ ali to je jednako $NZD(b, db - 1~mod~b)=NZD(b,-1)=1$ .

Dakle, to su uvek uzajamno prosti brojevi, pa se primenom Ojlerove teoreme nalazi da je $n = \phi(db-1)$ gde je $\phi(k)$ Ojlerova funkcija koja predstavlja broj uzajamno prostih brojeva sa k, koji su manji od k. U slucaju da je bd-1 prost broj, kao u prvoj postavci ovog zadatka, $\phi(p) = p-1$ jer su svi brojevi manji od prostog broja p uzajamno prosti za njim.

15. zadatak................ 10.07.2013. u 22:52 · pre 162 meseca #86

kvadrat plus jedan nikada nije stepen.

( $x^2+1=y^z$ je nemoguce, kada su $x, y, z$ celi brojevi veci od jedan)

tacno ili netacno?

Re: tacno ili netacno: 24 casa 10.07.2013. u 23:02 · pre 162 meseca #87

Verovatno si hteo da stavis jos neke uslove, obzirom da je 1^2 + 1 = 2^1, kao i da je y=x^2 + 1, z=1 uvek resenje...

Sada vidim da si promenio postavku... Samo mi nije jasno kako uvek sebe samoproglasis nastavljacem? :)

EDIT: dosadan je :)

Re: tacno ili netacno: 24 casa 10.07.2013. u 23:06 · pre 162 meseca #88

evo izmenio sam, za vece od jedan.

EDIT: fokusiraj se na zadatak

Re: tacno ili netacno: 24 casa 11.07.2013. u 10:01 · pre 162 meseca #89

Jeste Darko, to je rešenje.

number42

Zar nisi pomislio da je Darko ovo rekao zato što je prethodno izrazio želju da ja postavim zadatak i da ne želi da se koncentriše na tvoj?

Evo ga za one koji žele moj zadatak:

Neka je $c$ pozitivan realan broj i neka je na skupu $(-c,c)$ definisana binarna operacija $*$ na sledeći način:

$u*v=\frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}}$ .

Ovo je ono što mnogi pogrešno zovu "relativističko sabiranje brzina", što svakako nije sabiranje, jer za sabiranje važi 1+1=2. Takođe, u STR je primenljivo samo na kolinearne brzine (jednodimenzion slučaj).

Ovo obrazuje komutativnu grupu. Ispitati da li je ona izomorfna grupi $(R,+)$ , odnosno da li postoji bijektivno preslikavanje $f:(-c,c)\longrightarrow R$ takvo da je $f(u*v)=f(u)+f(v)$ . Drugim rečima, možemo li svakoj brzini pridružiti neku realnu karakteristiku koja tu brzinu potpuno određuje, tako da se pri slaganju brzina te karakteristike sabiraju? Ako postoji, navesti tu funkciju $f$ , tj. karakteristiku koja se sabira.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: 15. zadatak................ 11.07.2013. u 19:45 · pre 162 meseca #90

Citat:

kvadrat plus jedan nikada nije stepen.

( $x^2+1=y^z$ je nemoguce, kada su $x, y, z$ celi brojevi veci od jedan)

tacno ili netacno?

odgovor za 15. zadatak: tacno je.

ako je z parno, onda imamo

x^2+1=(y^k)^2

kako je najmanja razlika kvadrata 3, onda je 1 nemoguce i ovo je netacno.

ako je z neparno onda mozemo napisati dve jednacine

c^2+1=y^(2k+1)
d^2+1=y^(2k-1)

podelimo jednu s drugom, i dobijamo

(c^2+1)/(d^2+1)=y^2

pretpostavimo da je ovo tacno i da se leva strana moze zapisati kao kvadrat. onda ona mora da ima oblik

(a^(n+2m)) / (a^n) = (a^(1+m))^2 / a^2 = (c^2+1)/(d^2+1)

kako kvadrat ne moze biti jednak kvadrat plus jedan, onda je netacno i za neparno z iz postavke.

dakle, kvadrat plus jedan nije nikada stepen.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 11.07.2013. u 20:48 · pre 162 meseca #91

Citat:

number42: ako je z neparno onda mozemo napisati dve jednacine

c^2+1=y^(2k+1)
d^2+1=y^(2k-1)

Hahaha! Ovo si samo ti mogao da lupiš. Možemo mi napisati i sto jednačina, ali ove dve jednačine zajedno nemaju nikakve veze sa zadatkom. Postavka se može napisati na bilo koji od dva navedena načina, ali za različite vrednosti za k koje odgovaraju istoj vrednosti za z.

Inače, tvrđenje zadatka je tačno i specijalan je slučaj Katalanove hipoteze koja je dokazana 2002 godine.

Naravno, to ne govori ništa o "ispravnosti" rešenja koje je ponudio number42. Nisam ni mislio da on zna da reši ova dva zadatka, ali me je baš zanimalo šta će da lupi.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 11.07.2013. u 21:18 · pre 162 meseca #92

moze sledeci

Re: tacno ili netacno: 24 casa 11.07.2013. u 22:39 · pre 162 meseca #93

@Nedeljko
Stvarno mislim da bi trebalo da otvaras novu temu ako imas neki interesantan zadatak. Meni licno ne odgovara ovaj format. Pored toga, ubacuju se preko reda a kvalitet izlozenog se srozava, da ne govorim o "dokazima". Ne mozemo da se dogovorimo ni ko je sledeci. Neka ova tema ostane ono sto jeste.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 11.07.2013. u 22:48 · pre 162 meseca #94

Nula je neutralni element prve grupe i neutralni element druge grupe, pa mora da važi: $f(0)= 0$

$1*1=\frac{1+1}{1+\frac{1}{c^2}} = \frac{2c^2}{1+c^2}$
$f(1*1)=f(1)+f(1)$
$2f(1) = f(\frac{2c^2}{1+c^2})$

Slično se dobija da važi:
$2f(1) = f(\frac{2c^2}{1+c^2})$
$2f(2) = f(\frac{4c^2}{4+c^2})$
$2f(3) = f(\frac{6c^2}{9+c^2})$
.
.
.
$2f(k) = f(\frac{2kc^2}{k^2+c^2})$

Samo još nedostaje "sitnica". Šta je f(x)?

Lupno sam da je: $f(x) = \frac{xc^2}{x^2+c^2}$ ,
ali mislim da ne prolazi definiciju morfizma: $f(u*v)=f(u)+f(v)$ ili ja ne znam da proverim.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 11.07.2013. u 23:28 · pre 162 meseca #95

samo jedan offtopic.

kao pokretac teme, zamolio bih, jos jednom, da koristimo korektnu komunikaciju na ovoj temi.

sve koji ne zele da ispostuju ovo, zamolicu da otvore druge teme gde ce komentarisati kako zele i koje ce koncipirati po vlastitoj volji.

takodje i one koji pishu da im se ova tema ne svidja a onda komentarisu na istoj, usmerio bih ka drugim, njima zanimljivijim temama, ili otvaranje novih.

hvala unapred

Re: tacno ili netacno: 24 casa 11.07.2013. u 23:33 · pre 162 meseca #96

@miki069,

ne znam da li si resio? ako jesi, sada bi isao 17. zadatak, valjda (ili kad bude reseno).

a i ti bi mogao da postavis nesto, m?

il vec ko zeli..

Re: tacno ili netacno: 24 casa 12.07.2013. u 10:34 · pre 162 meseca #97

number42

Da, da, treba da ignorišemo gluposti koje pišeš. To si mi odavno napisao u PP - da ne želiš da se ukazuje na tvoje greške. To je vrlo nekorektno od drugih. E, pa vidiš, ako si to hteo, onda toj temi uopšte nije mesto na ovom forumu, jer je ovo forum za matematiku. U tom slučaju si temu trebao da pokreneš na Ultra MadZone, koji je izgleda ukinut.

Je li Bojane, koji je forum namenjen ovome što number42 hoće? Ima li takvoga nečega na sajtovima elitesecurity i elitemadzone?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 12.07.2013. u 10:37 · pre 162 meseca #98

Citat:

miki069: mislim da ne prolazi definiciju morfizma: $f(u*v)=f(u)+f(v)$ ili ja ne znam da proverim.

Ne prolazi.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 12.07.2013. u 12:07 · pre 162 meseca #99

Oddgovor je funkcija $f(x)=arctanh(x/c)$ , ali ću naknadno napisati kako se dolazi do nje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: tacno ili netacno: 24 casa 12.07.2013. u 13:56 · pre 162 meseca #100

Evo, istekao je jedan dan, pa da objavim rešenje zadatka.

Neka je $x=c/2$ i utvrdimo šta je $x_n=\underbrace{x*\cdots*x}_{n\mbox{ puta}}$ .

$x_1=c/2$ ,
$x_2=\frac 45c$ ,
$x_3=\frac{13}{14}c, x_4=\frac{40}{41}c$ ,
$x_5=\frac{121}{122}c$ .

Izgleda da je $x_k/c=1-1/k_n$ za neki niz prirodnih brojeva $k_n$ . U svakom slučaju, broj $k_n=\frac 1{1-x_n/c}$ postoji, pa bio prirodan ili ne. Odredimo rekurentne formule.

$\frac{1-\frac 1{k_n}+\frac 12}{1+\frac 12\left(1-\frac 1{k_n}\right)}=\frac{3k_n-2}{3k_n-1}=1-\frac 1{3k_n-1}$ ,

pa je

$k_1=2$ ,
$k_{n+1}=3k_n-1$ .

Podelimo poslednju jednačinu sa $3^{n+1}$ .

$\frac{k_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{k_n}{3^n}-\frac 1{3^{n+1}}$ .

Za niz $t_n=\frac{k_n}{3^n}$ važi

$t_1=\frac 23$ ,
$t_{n+1}=t_n-\frac 1{3^{n+1}}$ .

Odavde je lako zaključiti da je

$t_n=1-\sum_{k=1}^n\frac 1{3^k}=2-\frac{1-\frac 1{3^{n+1}}}{1-\frac 13}=\frac{3^n+1}{2\cdot 3^n}$ .

$k_n=\frac{3^n+1}2$ ,
$x_n=\frac{3^n-1}{3^n+1}c$ .

Dakle, $f(c/2)n=f(c(3^n-1)/(3^n+1))$ , odnosno

$f(c(1-\frac 2{3^n+1})=n\cdot f(c/2)$ .

Neka je $x=c(1-\frac 2{3^n+1})$ ,

$n=\log_3((1+x/c)/(1-x/c))$ ,
$f(x)=\frac{f(c/2)}{\ln(3)}\ln((1+x/c)/(1-x/c))$ .

Naravno, ova jednakost je izvedena samo za neke realne brojeve $x$ . Probajmo sa funkcijom definisanom sa

$f(x)=C\ln((1+x/c)/(1-x/c))$ , $C\neq 0$ .

za sve $x\in(-c,c)$ .

Neposredno se proverava da ona zaista zadovoljava traženi uslov

$f((u+v)/(1+uv/c^2))=f(u)+f(v)$ .

No, to je tačno arkus tangens hiperbolički od $x/c$ pomnožen konstantom $C\neq 0$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme