Gausova kriva-pokazati da je konstantna

Gausova kriva-pokazati da je konstantna 16.12.2012. u 16:59 · pre 168 meseci #1

Moze pomoc oko sljedeceg zadatka...

Neka je data sljedeći linijski element površi sa:
$ds^2= \frac{du^{2} + dv^{2}}{({u^2+v^2+c^2})^{2}}$ gdje je
$c\neq 0$ . Pokazati da ta površ ima Konstantnu Gausovu krivinu...
Ima formula za gausovu krivinu (pošto se ona da izraziti preko koeficijenata prve forme-jer ,naravo, ova
krivina pripada unutrašnjoj geometriji površi)...ali iz nje se dobije neki ogroman izraz koji ne mogu da sredim do neke konstante...
Ovdje je svakako E= $\frac{1}{(u^2+v^2+c^2)^2}$ i $G= \frac{1}{(u^2+v^2+c^2)^2}$
Hvala

Re: Gausova kriva-pokazati da je konstantna 16.12.2012. u 18:14 · pre 168 meseci #2

Na Wikipediji se moze naci jedna formula (sa kojom ja nisam familijaran) za racunanje Gausove krivine preko koeficijenata prve forme kada je $F=0$ .

Ona kaze da je $K=-\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u} \frac{G_u}{\sqrt{EG}}+\frac{\partial}{\partial v} \frac{G_v}{\sqrt{EG}}\right)$ , koja se dodatno olaksava s obzirom da je kod nas $E=G$ . Takodje, s obzirom na sam oblik $E$ , odnosno $G$ , kada se izracuna npr. $\frac{\partial}{\partial u} \frac{G_u}{E}$ , lako se (s obzirom da su $u$ i $v$ simetricno rasporedjeni) vidi sta je $\frac{\partial}{\partial v} \frac{G_v}{E}$ . Sve u svemu, posle ne tako dugog racuna dobija se da je (ako sam dobro izracunao) Gausova krivina $K=4c^2$ sto je konstatno naravno.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Gausova kriva-pokazati da je konstantna 16.12.2012. u 18:47 · pre 168 meseci #3

Ok...hvala...sad cu racunati pomocu te formule...Nisam znao za tu formulu...Ja sam koristtio uopstene formule za Kristofijelove kkoef.
Pa sam za svaki koef.racunao i dobijao neki izraz...
sve u svemu hvala puno...

Re: Gausova kriva-pokazati da je konstantna 16.12.2012. u 18:54 · pre 168 meseci #4

Formulu mozes naci ovde: http://en.wikipedia.org/wiki/G...curvature#Alternative_Formulas

Pa eto, nisam ni ja znao. Ti si radio pretpostavljam preko Gausove Egregium teoreme, mogu misliti koliko si se namucio :)

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Gausova kriva-pokazati da je konstantna 16.12.2012. u 19:08 · pre 168 meseci #5

Jesam jesam...kad nisam poludio....
Ma vjerovatno sam pogrijesio...a i ne pogrijesio koliki je racun...dvije dvolisnice...
Dobio sam i zuljeve na prstima....
Hvala jos jednom...

Re: Gausova kriva-pokazati da je konstantna 16.12.2012. u 20:21 · pre 168 meseci #6

A egregijum je zapravo ovo sa vikipedije:
$K = -\frac{1}{E} \left( \frac{\partial}{\partial u}\Gamma_{12}^2 - \frac{\partial}{\partial v}\Gamma_{11}^2 + \Gamma_{12}^1\Gamma_{11}^2 - \Gamma_{11}^1\Gamma_{12}^2 + \Gamma_{12}^2\Gamma_{12}^2 - \Gamma_{11}^2\Gamma_{22}^2\right)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Gausova kriva-pokazati da je konstantna 16.12.2012. u 20:49 · pre 168 meseci #7

Mislim (jer je nama profesor zapisao u drugacijem obliku) da jeste. Naime, mi smo ucili:

Teorema [Egregium, Gaus]. Neka je $r$ regularna povrs u $\textbf{R}^3$ . Tada vazi:
$K=\frac{1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}\left(\sum_{k,l=1}^{2}(\Gamma_{12}^{k}\Gamma_{12}^{l}-\Gamma_{11}^{k}\Gamma_{22}^{l})g_{kl}+\frac{\partial^2 g_{12}}{\partial u_1 \partial u_2} - \frac{1}{2}\frac{\partial^2 g_{11}}{\partial u_2 \partial u_2} - \frac{1}{2} \frac{\partial^2 g_{22}}{\partial u_1 \partial u_1}\right)$ (gde su sa $g_{ij}$ obelezeni koeficijenti prve fundamentalne formule i $u_1=u$ i $u_2=v$ )

I verovatno ako se jos iskoristi (unatraske) sledeca teorema se moze doci do te formule sa wikipedije:

Teorema. Neka je $r$ regularna povrs u $\textbf{R}^3$ . Tada vazi: $\Gamma_{ij}^{k}=\frac{1}{2}g^{lk}\left(\frac{\partial g_{il}}{\partial u^j}+\frac{\partial g_{jl}}{\partial u^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^l}\right)$ , gde je $u^1=u$ i $u^2=v$ , a $g^{lk}$ , huh, $\mathcal{G_I}^{-1}=(g^{ij})$ , gde je $\mathcal{G_I}$ matrica prve fundamentalne forme.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Gausova kriva-pokazati da je konstantna 16.12.2012. u 20:56 · pre 168 meseci #8

Da to je egregium formula koju sam koristio....Koja koristi sako koeficijente prve fundamentalne forme...
Ja sam nasao u knjizi Janjica (Krive i povrsi) u nesto pogodnijem obliku od ovih...Ako kog zanima kakav je oblik mogu mu ispisati...
(inace preko izvoda po u i v od F,G,E )
Pa sam ih kao takve i racunao...

Srodne teme