Prava i ravan - (odrediti ravan koja je normalna na datu ravan i sadrzi pravu p)

Prava i ravan - (odrediti ravan koja je normalna na datu ravan i sadrzi pravu p) 29.02.2012. u 21:25 · pre 178 meseci #1

Evo zadatka.

Znam da su normalne ako su im vektori normalni, i znaci $n1 * n2 = 0$ . Ali kako se ovo resava? Nije mi jasno..

pravaravan.PNG61.87k

Re: Prava i ravan - (odrediti ravan koja je normalna na datu ravan i sadrzi pravu p) 29.02.2012. u 21:50 · pre 178 meseci #2

$\alpha:x+y+z-3=0, p:\frac{x-5}{1}=\frac{y-1}{0}=\frac{z+3}{-1}$
$\alpha \bot \beta \Rightarrow \vec{n_{\alpha}} \bot \vec{n_{\beta}}$ . Posto $p\in \beta$ onda je i $\vec{n_{\beta}}\bot \vec{p}$ . Kako je $\vec{n_{\beta}}$ normalan i na $\vec{n_{\alpha}}$ i na $\vec{p}$ to je onda $\vec{n_{\beta}}=\vec{p}\times \vec{n_{\alpha}}$ .
Znas da je $\vec{p}(1,0,-1), \vec{n_{\alpha}}(1,1,1)$ , pa odatle nadji $\vec{n_{\beta}}$ . Takodje, kako $p\in \beta$ imas da tacka $P(5,1,-3)\in \beta$ . Nadjes vektor normale ravni $\beta$ , imas tacku koja pripada ravni, i onda lako nadjes jednacinu ravni.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Prava i ravan - (odrediti ravan koja je normalna na datu ravan i sadrzi pravu p) 29.02.2012. u 22:01 · pre 178 meseci #3

Znaci: $1(x-5)-2(y-1)+1(z+3)=0$ ; tj. $x-2y+z=0$ ?

A kako da nadjem ovu simetricnu tacku (sledeci deo zadatka)?

Re: Prava i ravan - (odrediti ravan koja je normalna na datu ravan i sadrzi pravu p) 29.02.2012. u 22:14 · pre 178 meseci #4

$\alpha:x+y+z-3=0, A(2,2,2)$
Nadjes tacku $M(x_1,y_1,z_1)$ koja predstavlja projekciju tacke $A$ na ravan $\alpha$ . Tada vazi da je $M=S(AB)$ ( $M$ je srediste duzi $AB$ ).
Vektor normale ravni $\alpha$ je $\vec{n_{\alpha}}(1,1,1)$ . Neka je $n$ prava koja sadrzi tacke $A$ i $M$ . Tada vazi $\vec{n_{\alpha}}=\vec{n}=\vec{AM}$
Jednacina normale koja prolazi kroz $A$ je $n:\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}=t$ , tj. $x=y=z=t+2$ . Kako $M\in n$ to vazi $x_1=y_1=z_1=t+2$ , a sa druge strane $M\in \alpha$ , pa vratis ovo u jednacinu ravni $\alpha$ i nadjes $t$ .
Kad nadjes $t$ onda nadjes i tacku $M$ , a posle lako nadjes tacku $B$ .

Nzm dal ti je tacno, nisam racunao.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Prava i ravan - (odrediti ravan koja je normalna na datu ravan i sadrzi pravu p) 29.02.2012. u 22:39 · pre 178 meseci #5

Ako sam dobro razumeo $t+2$ vracam u jednacinu ravni i dobijam da je $t=-1$ , i odatle imam da je tacka $M(1.1.1)$ ?

I opet mi nije jasno kako se dolazi do tacke B...

Re: Prava i ravan - (odrediti ravan koja je normalna na datu ravan i sadrzi pravu p) 29.02.2012. u 22:50 · pre 178 meseci #6

Tacka $M$ je srediste duzi $AB$ , tj. ako je $A(x_A,y_A,z_A)$ i $B(x_B,y_B,z_B)$ tada je $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$ . Ti imas $A$ , i imas $M$ , i sad nadji $B$ .

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Prava i ravan - (odrediti ravan koja je normalna na datu ravan i sadrzi pravu p) 29.02.2012. u 23:02 · pre 178 meseci #7

Ajde molim te pokazi mi na konkretnom primeru za prvu koordinatu (Xb) kako se dolazi do nje? Sa cime treba da je izjednacim?

Re: Prava i ravan - (odrediti ravan koja je normalna na datu ravan i sadrzi pravu p) 29.02.2012. u 23:04 · pre 178 meseci #8

Iz $M$ nalazis $\frac{x_A+x_B}{2}=1$
Iz $A$ nalazis $x_A=2$

I odatle nadjes $x_B$

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Prava i ravan - (odrediti ravan koja je normalna na datu ravan i sadrzi pravu p) 29.02.2012. u 23:13 · pre 178 meseci #9

I ispada da je B(0,0,0)?

Re: Prava i ravan - (odrediti ravan koja je normalna na datu ravan i sadrzi pravu p) 29.02.2012. u 23:16 · pre 178 meseci #10

Da.

Provera:

$\frac{|2+2+2-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{|3|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
$\frac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{|-3|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

$\sqrt{3}=\sqrt{3}$ sve je u redu

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Prava i ravan - (odrediti ravan koja je normalna na datu ravan i sadrzi pravu p) 01.03.2012. u 21:14 · pre 178 meseci #11

Obavezno uradi zadatak: Naći tačku simetričnu tački A u odnosu na pravu p.
I ta verzija često pada na ispitima.

Uputstvo:
Nemoj da projekciju tačke A na pravu p tražiš kao presek prave p i prave n.
Prava n je normalne na pravu p i sadrži tačku A.
Pomučićeš se oko vektora prave n, jer ćeš morati da koristiš i uslov da se dve prave seku i da se seku pod pravim uglom.

Projekciju tačke A na pravu p traži kao presek prave p i ravni Pi.
Ravan Pi je normalna na pravu p i sadrži tačku A.
Njen vektor odmah imaš, jer je to vektor prave p.

Najbolje uradi zadatak na oba načina.
Prvo preko ravni, a onda preko prave.
Videćeš koja je razlika u dužini zadatka.

Srodne teme