Tri prave seku se u jednoj tacki - pokusaj br. 2

Imamo tri prave a, b i c. Prave a i b cine ravan pi. Ugao izmedju pravih a i b je . Za pravu c se podrazumeva da nije u ravni pi. Ugao izmedju a i c i ugao izmedju b i c iznosi . Postavlja se pitanje koliki je ugao izmedju prave c i ravni pi.

Koliko je vidim projekcija prave c na ravan pi dijeli taj dio ravni izmedju a i b na dva jednaka dijela, tj. ugao izmedju te projekcije i pravih a i b je po /2. To je sve sto mogu zakljuciti. Koliki je ugao izmedju prave c i njene projekcije na ravan pi?

Neka pomoc?

Thx!

Obilježimo sa A tačku presjeka pravih. Sa tačkom C obilježimo krajnju tačku duži AC dužine 1 na pravoj c. Sa tačkom B obilježimo krajnju tačku duži AB dužine 1 na pravoj a. Očigledno je da projekcija prave c na ravan pi dijeli ugao alfa na dvije polovine. Sa tačkom D obilježimo krajnju tačku duži AD koje se nalazi na projekciji duži c na ravan pi. Posmatrajmo trougao
ADC. To je pravougli trougao sa pravim uglom u tački D. Naš zadatak je da nađemo ugao gama u tački A trougla ADC.
Iz ovog trougla imamo: (I) 1=DC^2+AD^2
Posmatrajmo trougao ABC. Ugao u tacki A je beta. Kako je u pitanju ravnokraki trougao ima se da je:
(II) BC=2*sin(beta/2) (AC=AB=1)
Posmatrajmo trougao ADB. Ugao u tacki A je alfa/2. Primjenom kosinusne teoreme dobijamo:
(III) DB^2=1+AD^2-2ADcos(alfa/2)
I konacno posmatrajmo trougao CBD. Taj trougao je takodje pravougli sa pravim uglom u tacki D (zbog toga sto je AD projekcija prave c na ravan pi pa je DC normala na tu ravan) i primjenjujuci pitagoru imamo:
(IV) DB^2+DC^2=BC^2
Sada imamo 4 jednacine sa 4 nepoznate (AD, DC, BC, i DB).
Ako uvrstimo (II) i (IV) u (III) dobijamo da je:
4(sin(beta/2))^2-DC^2=1+AD^2-2ADcos(alfa/2)
Iz (I) imamo da je AD^2=1-DC^2 ili da je AD=sqrt(1-DC^2) pa zamjenivsi to u gornju jednacinu dobijamo:
4(sin(beta/2))^2-DC^2=1+1-DC^2-2*sqrt(1-DC^2)*cos(alfa/2)
iz cega se skracivanjem, dijeljenjem sa dva i grupisanjem dobija jednacina:
sqrt(1-DC^2)*cos(alfa/2)=1-2(sin(beta/2))^2
Kako je (sin(beta/2))^2=(1-cos(beta))/2 dalje imamo:
sqrt(1-DC^2)*cos(alfa/2)=cos(beta)
Kvadriranjem i sredjivanjem ove jednacine dobijamo:
DC=sqrt((cos(alfa/2))^2-(cos(beta))^2)/cos(alfa/2);
Kako je trougao ADC pravougli ima se da je
sin(gama)=DC/1=DC
pa se ima da je:
gama=asin(sqrt((cos(alfa/2))^2-(cos(beta))^2)/cos(alfa/2))

Nadam se da je pomoglo :)