Interesantan zadatak (The Monty Hall Problem)

Evo malo statistike koliko se pobeđuje ili gubi (wins/loses) u zavisnosti od odluke o promeni izbora (switch/stay). Radi se o klasičnoj postavci s 3 nečega. Milionče ponavljanja po slučajnom uzorku.

Parametar o promeni izbora je na 50%, što u ukupnom skoru donosi isti procenat za pobedu. Variranjem ovog parametra verovatnoća pobede ide od jedne do dve trećine.

---

PS. u fajlu uz poruku je interaktivna igrica na ovu temu, ujedno s prikazom trenutnih statističkih rezultata (kako li sam inače došo do onih brojki?)

Potpis

BoxUp
interesantna logička igra
Monty Hall paradoks - interaktivni demo

"Ne ne, gresis! Evo, zamisli da imas 100 000 kutija. I sada ti izaberes jednu kutiju. Naravno verovatnoca da si izabrao pravu kutiju je jako mala. E sada voditelj otvori sve kutije osim jedne. Verovatnoca da je nagrada u toj kutiji je mnogo veca nego da je nagrada u prvobitnoj kutiji, zar ne? Ili bi ti ipak ostao pri prvobitnom izboru?
Recimo ovde gde imas 100 000 kutija na kraju ti ostanu 2 ali nije 50% sansa da u svakoj kutiji bude nagrada nego je u prvoj kutiji 0,001% a u drugoj kutiji je sansa 99,999%"

Zašto je "Verovatnoca da je nagrada u toj kutiji je mnogo veca nego da je nagrada u prvobitnoj kutiji, zar ne?"
Baš je biserno.

Verovatnoća je ista 50% prema 50%.

Pitanje je bilo menjati ili ne menjati odluku?
50% pa 50% ostaje verovatnoća pogodka.
Znači totalno je svejedno.
Odgovore je: ne menjati odluku.

Voditelj vas je doveo na 50% i tu ostajete promenili ili ne promenili odluku!



_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 15.09.2011. u 02:57 GMT+1]}

Ne, menjaces odluku ako hoces nagradu.

Izvedi sam test. Nadji nekog da uzme 100 kutija sibica i zrno pasulja koje ce staviti u jednu kutiju bez tvog znanja.
Ti izaberi jednu kutiju nakon cega ce taj neko skloniti kutije tako da ostanu jedna prazna i jedna sa zrnom.

Kada si birao sansa je bila 1% da si pogodio, sansa da si pogresio je 99%. Kada se sklone tako da ostanu jedna prazna i jedna puna, ako ostanes pri izabranoj kutiji, ti znaci i dalje prihvatas da je pasulj bio u onih prvobitnih 1%, a posto su ostalih 19 kutija "sabrane u tu drugu" one cine prethodnih 99%.

Izbor 50-50 gledajuci nezavisno bez znanja sta se pre toga desilo, ipak nije tako jer si ti uticao na to da tvoja kutija koja je imala 1% sanse ostane.

Zamisli to ovako:
Imas ogroman sto na kome se nalazi 1.000.000 krigli piva i samo u jednoj ima pivo. Ti naravno ne mozes ni da vidis kraj stola od tolikih krigli tako da je snasa mala da vidis tu jednu sa pivom. Neko ti kaze da izaberes jednu, bilo koju, i on ce nakon sto izaberes tu jednu da ukloni sve ostale tako da ostanu jedna puna i jedna prazna. Da li bi zadrzao svoju kriglu koji si izabrao ili bi uzeo onu drugu koja "ostane"?
Mislim da i sam vidis da ce mnogo cesce od 50% krigla koja ima pivo biti ona koju ti nisi izabrao.

Pitanje je: promeniti ili ne promeniti odluku?

Moja odluka je doneta pre intervencije voditelja.
Pre intervencije voditelja verovatnoća da gađam punu kriglu je 1 : 1.000.000.
Posle njegove pomoći verovatnoća je 1:2 ili ti 50%.
Moja ili njegova?
Nema treća. 50%.

Imaj u obzir to da je ostala ta koju si birao kada je sansa bila 1 : 1.000.000 i jos jedna. Konacno imas: 1 puna, 1 prazna.
Ako si izabrao punu iz prvog puta (nekako) znaci da se ostalih 999.999 "sabralo" u praznu. Medjutim ako si izabrao praznu(sto je skoro sigurno) ostalih 999.999 se mora sabrati u koju?
E sada samo gledaj koliko ces puta birati prvu kao praznu, a koliko kao punu (uzimajuci u obzir da ne vidis kraj stola (po originalnom zadatku ne bi trebalo da vidis koja je puna sve i da ti je u vidokrugu)).

P.S. Moramo na pivo, ja cu uzimati tu koja "ostane". :D

Nije. Fora je sto ovde imas istoriju koja utice. Pazi sad. Ti u startu imas 1:10^6 sansu da pogodis. Odaberes. Sansa da si pogodio je 1:10^6. Dakle, jednom u milion slucajeva ces ti pogoditi iz prve. Tvoj izbor je VEC napravljen.
E sad, gledaj situaciju. Imas dva skupa - A i B. U prvom skupu imas jednu kriglu (onu koju si odabrao). U skupu B, imas 999 999 krigli. Sansa da je pivo u skupu A je 1:10^6, sansa da je pivo u skupu B je 999 999:1 000 000 (u nekoj krigli). Od tada, pa nadalje, sta god ti da radis unutar jednog skupa, nista se ne menja u tim sansama. Kada skup B svedes na jednu kriglu, to ne utice. I dalje je sansa 999 999:1 000 000 da je u skupu B, samo sto je sada skup B samo jedna krigla, tako da je sansa od 999... da je u bas toj jednoj.

Potpis

Nebojsa Milanovic:
-Trumpa smatram vrhunskim predsednikom i voleo bih da živim u državi na čijem je on čelu
-Rusija ne laže, ne vodi osvajačke ratove
-Trump je svetla tačka u USA blatu
-Elon Musk, možda najpametniji i najtrezveniji Amerikanac

Treba razumeti tekst zadatka.
On ne kaže: "voditelj otvori kutiju B za koju unapred zna de je prazna",
niti igde u tekstu zadatka piše da voditelj zna gde je nagrada.

Već: "voditelj pokaže kutiju B i pokaže da je prazna....bla bla".

Ako je voditelj morao da pokaže baš kutiju B i koja je 100% prazna, razume vas i đak petak.

On je činio kviz interesantijim.
Slučajno je otvorio kutiju B (50% jer mu nedam moju A pipa, znači B ili C) i konstatovao je da je ona prazna (50%, a ne 100%).

Ko ne razume pravac kod šibicara.
Zgazite A šibicu i neka neko neutralan (voditelj) izabere B šibicu i pokaže da pod njom nije puljka.
Ostajete pri A ili gazite C šibicu.
Voditelj je digao verovatnoću za A na 50% i za C na 50%.



Primer 5 piva.

A je događaj moje pivo je prvo i ono je puno.
p(A) je 20%.

B je događaj voditelj će otvoriti 2, 3 i 4 pivo i pokazaće da su ona prazna.

C je događaj peto pivo je puno.
p(C)=20%

Izraćunajte verovatnoće p(B uslovno A) i p(B uslovno C)
Iste su i iznose 50%.


_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 15.09.2011. u 02:57 GMT+1]}

Nisu. Lepo ti objasnih sa skupovima :)
Uostalom, hajde, ja sam spreman da stavim my money where my mouth is. Idemo sa 10 polja i sa ulogom od 10e. Ti nikad nemoj da menjas, ja cu uvek. Ko pogodi, uzima svih 20e.

Potpis

Nebojsa Milanovic:
-Trumpa smatram vrhunskim predsednikom i voleo bih da živim u državi na čijem je on čelu
-Rusija ne laže, ne vodi osvajačke ratove
-Trump je svetla tačka u USA blatu
-Elon Musk, možda najpametniji i najtrezveniji Amerikanac

Jasno mi je sve sa skupovima i u pravu si ako je tako postavljen problem.

Voditelj zna ili ne zna gde se nalazi nagrada?
Voditelj 100% otvara gubitnička polja?

Ako je odgovor DA, onda je onako kako si ti napisao.

Naravno. U postavci zadatka i jeste da je polje koje otvara prazno. Dakle, obavezno otvara prazna polja a da bi to uradio mora znati koje polje nije prazno :)

Potpis

Nebojsa Milanovic:
-Trumpa smatram vrhunskim predsednikom i voleo bih da živim u državi na čijem je on čelu
-Rusija ne laže, ne vodi osvajačke ratove
-Trump je svetla tačka u USA blatu
-Elon Musk, možda najpametniji i najtrezveniji Amerikanac

U pravu si onda 100%.
Pozdrav.

Mozda je ovo najlaksi nacin da se shvati zadatak.

Imate 100 kutija vi odaberete 1 dakle sansa da dobijete je 1/100. E sada dodje voditelj i kaze vam dacu vam priliku da promenite izbor, ali umesto da odaberete drugu kutiju vi mozete da ili ostanete na vasem izbori ili da odaberete ono sto niste izabrali dakle 99 ostalih kutija. Da li biste promenili odluku?

Ono sto voditlje radi jeste da vam iz tog drugo skupa uklanja sve ono sto sigurno nije i ostavlja vam da birate iz tog skupa. Dakle da li cete ostati na izboro kada je verovatnoca bila 1/100 ili cete odabrati jednu jedinu preostalu kutiju iz skupa u kome je verovatnoca bila 99/100.

Valjda je ovo malo pomoglo

Odličan je ovaj problem, uspešno zbunjuje ljude :-)

Pripremio sam još jednu interaktivnu demonstraciju, ovaj put i sa većim brojem 'vrata'. Izgleda da povećanje polaznog broja 'vrata' deluje na lakše prihvatanje prave prirode problema (barem je meni pomoglo).

Potpis

BoxUp
interesantna logička igra
Monty Hall paradoks - interaktivni demo