Sistme linearnih jednacina

Sistme linearnih jednacina 03.07.2011. u 01:55 · pre 186 meseci #1

Imam malo poteskoca i nedoumica oko sledeceg zadatka,zadatak je iz Tangente.
Kaze:Neka su $a,b,c,d$ .Cijeli brojevi.Naci potreban i dovoljan uslov da sistem jednacina ima cjelobrojna rjesenja za sve cjele brojeve $m$ i $n$ .Sisem je sledeci:
$ax+by=m$
$cx+dy=n$
Evo kakvu sam ja imao ideju da pocnem.Znaci $x=\frac{\Delta x}{\Delta} \Longrightarrow x={bn-md \over ad-bc}$
i $y=\frac{an-mc}{ad-bc}$ , $x={bn-md \over ad-bc}=\frac{bn}{ad-bc}-{md \over ad-bc}$ ,da bi $x$ bio cio broj treba da vazi $bn \equiv 0 (mod (ad-bc)) \land md \equiv 0 (mod(ad-bc))$
i da bi $y$ bio takodje cio broj,mora da vazi, $an \equiv 0 (mod(ad-bc)) \land mc \equiv 0 (mod (ad-bc))$ i kako nastavim dalje.

A i takodje sam mislio ako bi vazilo $x=\frac{b}{ad-bc}-{d \over ad-bc}$ ,i da vazi $y={a \over ad - bc}-\frac{c}{ad-bc}$ ,onda bi iz toga vazile sledece kongruentnosti: $bn \equiv 0 (mod (ad-bc)) \land md \equiv 0 (mod(ad-bc))$ za sve cjele brojve $m$ i $n$ i $an \equiv 0 (mod(ad-bc)) \land mc \equiv 0 (mod (ad-bc))$ ,za sve cjele brojeve $m$ i $n$ ,samim tim bi i rjesenja bili cjelobrojna.
Sta vi mislite?

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Sistme linearnih jednacina 03.07.2011. u 08:34 · pre 186 meseci #2

Za početak ti nije dobro $x$ .

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Sistme linearnih jednacina 03.07.2011. u 08:53 · pre 186 meseci #3

Ti uvek možeš da naštimaš cele brojeve $m$ i $n$ tako da bude $bm-nd=NZD(b,d)$ . Otuda mora da $\Delta|NZD(b,d)$ . Slično važi i $\Delta|NZD(a,c)$ . Dakle, postoje celi brojevi $k,l,a',b',c'$ i $d'$ takvi da je $a=a'k\Delta$ , $b=b'l\Delta$ , $c=c'k\Delta$ i $d=d'l\Delta$ , odakle je

$\Delta=(a'c'-b'd')kl\Delta^2$ ,

odakle $\Delta^2|\Delta$ , pa je $|\Delta|=1$ . Jasno je da je taj uslov i dovoljan.

E, sad, to je slučaj kada je determinanta sistema različita od nule. Ostalo je da dokažeš da se u slučaju da je determinanta sistema jednaka nuli uvek mogu izabrati celi brojevi $m$ i $n$ tako da sistem nema nijednog rešenja, pa ni celobrojnog.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Sistme linearnih jednacina 03.07.2011. u 15:28 · pre 186 meseci #4

Hvala na pomoci!

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Srodne teme