Najlepši zadaci

Re: Najlepši zadaci 08.12.2010. u 11:07 · pre 193 meseca #781

Da aktiviram ovu temu jednim jako zanimljivim (ali i poznatim) zadatkom.

Code:
Napisano je n pisama i poslato je na n adresa u n koverata. Na koliko je načina moguće rasporediti ova pisma tako da svako bude u pogrešnoj koverti?

Re: Najlepši zadaci 09.12.2010. u 13:59 · pre 193 meseca #782

Ukupan broj mogućih rasporeda je $n!$ . Neka je $A_k$ skup svih rasporeda kod kojih $k$ -to pismo stiže na pravo adresu.

$|A_1\cup A_2\cup \cdto\cdot\cdot \cup A_n|$ je broj rasporeda u kojima postoji bar jedno pismo koje je stiglo na pravu adresu.

Broj rasporeda koji mi tražimo je $n!-|A_1\cup A_2\cup \cdto\cdot\cdot \cup A_n|$ .

Kako je broj rasporeda kod kojih fiksiranih $j$ pisama stiže na pravu adresu, jednak $(n-j)!$ , na osnovu formule isključivanja i uključivanja dobijamo da je traženi broj rasporeda $n!-{n \choose 1}(n-1)!+{n \choose 2}(n-2)!-\cdot\cdot\cdot+(-1)^n{n \choose n}$ .

Malo ću da preformulišem zadatak (prodiskutovati slučaj kada n teži beskonačno):

Code:
Napisano je n pisama i poslato je na n adresa u n koverata. Kolika je vjerovatnoća da svako
pismo bude raspoređeno u pogrešnoj koverti?

Re: Najlepši zadaci 09.12.2010. u 23:08 · pre 193 meseca #783

Svaka čast, to je tačno rešenje!

Ovo je inače problem koji je formulisali i rešavali Bernuli i Ojler.

Zadatak sa verovatnoćom mi je poznat, stoga zasad još neću da pišem rešenje.

Re: Najlepši zadaci 10.12.2010. u 14:27 · pre 193 meseca #784

Poznat mi je taj zadatak otprije, bio je na takmičenjima.

Citat:

Fermion:
Ovo je inače problem koji je formulisali i rešavali Bernuli i Ojler.

Ovo nisam znao.

Re: Najlepši zadaci 19.01.2011. u 12:07 · pre 192 meseca #785

Ne može se konstruisati svaki ugao niti neki proizvoljan ugao podeliti na tri dela,
ali to nije smetnja da se praktično napravi dovoljno tačan uglomer.

Kako?

Re: Najlepši zadaci 19.01.2011. u 13:47 · pre 192 meseca #786

http://www.elitesecurity.org/t35193

Re: Najlepši zadaci 19.01.2011. u 14:03 · pre 192 meseca #787

Student pita profesorku: "Koliko su ti stare kćerke?"

Profesorka odgovara: "Ako pomnožiš njihove godine dobićeš 36. Ako ih sabereš, dobićeš broj tvoje kuće."

"Nedostaje mi detalj.", protestuje student.

Profesorka odgovara: "U pravu si, najstarija svira klavir."

Koliko su stare tri kćerke?

Zadatak je iz filma La habitacion the Fermat.

Re: Najlepši zadaci 19.01.2011. u 16:43 · pre 192 meseca #788

Ovo mi se čini prosto, ali možda nešto ne uviđam ovako na brzinu.

$x \cdot y \cdot z = 36= 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2$

Pošto psotoji najstarija postoji najveći broj među x,y,z. Tako se isklljučuje 6,6,1.

Ostaje (1,4,9), (12,3,1), (6,3,2), (9,2,2).

S obzirom da student zna broj svoje kuće on može da odredi o kojoj kombinaciji brojeva se radi, jer zbir je kod sve četiri kombinacije različit, sledi da je rešenje jednoznačno određeno.

Re: Najlepši zadaci 19.01.2011. u 17:06 · pre 192 meseca #789

Nisi uračunao da bez odbacivanja mogućnosti 6,6,1 rešenje nije bilo jednoznačno određeno. To znači da je broj kuće 13. Dakle, rešenje je 9,2,2.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Najlepši zadaci 19.01.2011. u 17:15 · pre 192 meseca #790

Citat:

Nedeljko: Nisi uračunao da bez odbacivanja mogućnosti 6,6,1 rešenje nije bilo jednoznačno određeno. To znači da je broj kuće 13. Dakle, rešenje je 9,2,2.

Da... Tako mi i treba kad isprva nisam pročitao pola zadatka i uopšte nisam primetio taj deo kad student kaže da mu nedostaje detalj.

Re: Najlepši zadaci 19.01.2011. u 19:56 · pre 192 meseca #791

Citat:

Fermion:

Tako se isklljučuje 6,6,1.

Ne isključuje se tako.

Re: Najlepši zadaci 19.01.2011. u 22:21 · pre 192 meseca #792

U slučaju 6,6,1 ne bi postojala najstarija koja svira klavir. To znači da je ta mogućnost isključena.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Najlepši zadaci 19.01.2011. u 22:52 · pre 192 meseca #793

Da li?

Re: Najlepši zadaci 19.01.2011. u 23:30 · pre 192 meseca #794

Smatra se da su bliznakinje jednako stare.

Ali nije odgovoreno na zadatak kako napraviti uglomer tako da možemo
i nacrtati i izmeriti uglove od 0 do 360 stepeni
Trisekcija ugla je drugo pitanje, a ovde se stvarno radi o uglomeru koji
možemo napraviti vrlo precizno kao onaj iz dućana ili još bolje.
Hajde majstori!

Re: Najlepši zadaci 19.01.2011. u 23:48 · pre 192 meseca #795

Kako si zaključio da su blizankinje. Obrazloži, nigdje u zadatku nije rečeno.

Re: Najlepši zadaci 19.01.2011. u 23:59 · pre 192 meseca #796

Ja sam mogućnost sa bliznakinjama isključio imajući u vidu da iako su podjednako stare, nijedna nije starija od obe preostale, pa nemožemo je nazvati najstarijom. Ovo je već stvar terminologije, ali logičnije mi je da bude onako kako sam rekao, uz Nedeljkovu popravku.

Re: Najlepši zadaci 20.01.2011. u 00:16 · pre 192 meseca #797

@ sini

Ne odnosi se na zadatak nego na rešenje: 6, 6, 1
jer ako ćemo cepidlačiti onda jedna od blizankinja nema tačno 6 godina,
pa proizvod nije tačno 36, ili ako hoćemo da proizvod bude tačan onda ni
jedna blizankinja nema tačno 6 godina

Re: Najlepši zadaci 21.01.2011. u 19:21 · pre 192 meseca #798

@atelago

Mogu obe imati isti broj godina, recimo 6, a da jedna bude starija od druge. To uopšte ne utiče na proizvod godina.

@fermion

Zadatak ima jedinstveno rješenje i pod uslovom da mogu imati isti broj godina a da jedna bude starija od druge. Moguće je i da nisu blizankinje, ako jesu i to je dio rješenja; treba ga u potpunosti obrazložiti.

Re: Najlepši zadaci 21.01.2011. u 22:08 · pre 192 meseca #799

U zadatku se za meru prećutno uzima jedna cela godina, (godina kao komad!), pa sve što je
preko toga ne uzima se u obzir ni na koji način – stoga je pod tim uslovom jedino
rešenje 9, 2, 2 iako je tu problematična reč “najstarija” jer inicira drukčiju meru i drukčija rešenja.
Ovih dilema ne bi bilo kad bi se tražilo koliko jabuka ima u tri pakovanja a pakovanje
s najvećim brojem jabuka ima sliku stabla.

Hajd’ sad da napravimo uglomer i što je još interesantnije da izvršimo n-sekciju bilo kog
ugla od 0 do 2π bez iskazivanja koliki je taj ugao u stepenima, radijanima i sl.

Re: Najlepši zadaci 25.01.2011. u 23:52 · pre 191 mesec #800

Student pita profesorku: "Koliko su ti stare kćerke?"

Profesorka odgovara: "Ako pomnožiš njihove godine dobićeš 36. Ako ih sabereš, dobićeš broj tvoje kuće."

$1\cdot 2\cdot 18=36;\ 1+2+18=21;\\ 1\cdot 3\cdot 12=36;\ 1+3+12=16;\\ 1\cdot 4\cdot 9=36;\ 1+4+9=14;\\ 1\cdot 6\cdot 6=36;\ 1+6+6=13;\\ 2\cdot 2\cdot 9=36;\ 2+2+9=13;\\ 2\cdot 3\cdot 6=36;\ 2+3+6=11.\\$

"Nedostaje mi detalj.", protestuje student.

Profesorka zna broj studentove kuće. Zašto njemu ta informacija nije dovoljna da zna koliko godina imaju kćerke? Zato što ima više mogućih slučajeva kada je proizvod njihovih godina 36 a zbir jednak broju njegove kuće. Zaključujemo da je broj njegove kuće 13 jer je to jedini takav slučaj da su zbirovi godina za različite mogućnosti isti. Dakle, kćerke imaju dvije 6 godina a jedna 1 ili dvije 2 godine a jedna 9.

Profesorka odgovara: "U pravu si, najstarija svira klavir."

Jasno da je to taj detalj koji nedostaje. Zašto? Jer student ima jednu informaciju koju mi nemamo. Dvije sestre su blizankinje. U suprotnom, imali bi dva moguća slučaja i ne bi mogli da odredimo koliko kćerke imaju godina; u prvom slučaju, mogu dvije kćerke da imaju obe 6 godina ali da je jedna par mjeseci (najmanje 9, osim ako je mlađa ranije rođena) starija od druge; u drugom slučaju je najstarija ona koja ima 9 godina; i za onu od 6, kao i za onu od 9 godina, moguće je da sviraju klavir.

Koliko su stare tri kćerke?

Najstarija ima 9 godina, dvije mlađe su blizankinje i imaju po 2 godine.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme