Pomoc u vezi sa RIKF-om

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 13.09.2010. u 21:58 · pre 196 meseci #21

Da.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 14.09.2010. u 10:17 · pre 196 meseci #22

Citat:

Nedeljko: Da.

Hvala.

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 06.11.2010. u 06:44 · pre 195 meseci #23

Moze li neko da mi, makar i okvirno, kaze kako se radi sledeci tip zadatka?

Ispitati (Lebeg) merljivost funkcije $f(x,y)=\cases{\sin{(x^2+y^2) &,za $x-2y$ \in Q \cr 0 &,ina\v ce }}$ , a zatim odrediti $\int_{R^2}{f(x,y) dm}$ ,gde je m-Lebegova mera na $R^2$

Ja "kao nesto" razmisljam ovako:

AKO je skup $A=\{(x,y)\in R^2\,|\,x-2y \in Q\}$ mere 0, onda je lako:

f=0 skoro svuda => f neprekidna skoro svuda => f merljiva

Integral je, u tom slucaju
$\int_{R^2}{f(x,y)dm}=\int_A{f(x,y)dm}+\int_B{f(x,y)dm}=0+0=0$ , gde je $m(A)=0$ ,
a na skupu $B=\{(x,y)\in R^2\,|\,x-2y \notin Q\}$ vazi $f = 0$ .

Sve je to lepo, "samo" ne znam da li je zaista $m(A)=0$ , i ako jeste, kako to da dokazem.
Dodatno se zbunjujem kod $A \supset Q^2$ .

Ili sam, jednostavno, sve "promasila" ?

Svaki odgovor je dobrodosao
Hvala unapred!

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 06.11.2010. u 14:59 · pre 195 meseci #24

$A=\bigcup_{q\in Q}\{(q+2y,y)\,|\,y\in R\}$ . Stoga je skup $A$ mere nula kao prebrojiva unija skupova mere nula. Međutim, ovo nije tačno

Citat:

epicentar: f=0 skoro svuda => f neprekidna skoro svuda => f merljiva

Karakteristična funkcija skupa racionalnih brojeva je jednaka nuli skoro svuda, ali je prekidna u svakoj tački.

Međutim, neka je $E$ merljiv skup predstavljen kao najviše prebrojiva disjunktna unija $E_i$ i neka su $f_i:E_i\longrightarrow C$ merljive funkcije. Tada je funkcija $f:E\longrightarrow C$ definisana kao $f(x)=f_i(x)$ za $x\in E_i$ merljiva. Takođe, bilo kakva funkcija definisana na skupu mere nula je merljiva (i integrabilna sa integralom jednakim nuli) Pokušaj to da dokažeš i onda će ti ovo biti lako.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 06.11.2010. u 15:19 · pre 195 meseci #25

Hvala, Nedeljko!

Javicu kad budem nesto uradila

Drzite mi palceve :)
Pozdrav!

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 06.11.2010. u 17:43 · pre 195 meseci #26

Hmmm... Pa,sklepah nesto... Supljikavo...

1) Jasno mi je da je $\{(2y,y)\,|\,y\in R\}$ mere 0 (kao prava u $R^2$ ), i da transliran za $(q,0)$ ne menja meru,dakle $m(A)=0$ ,ali ne umem da formalizujem dokaz

2) Zadrzavam sve pp-ke i oznake:
$(\forall i) f_i\;\hbox{ merljiva } \Longrightarrow \{x \in E_i\,|\,f_i(x)<c\}\;\hbox{merljiv,}\;\forall c\in C$

pa je

$\{x \in E\,|\,f(x)<c\}=\bigcup_{i \geq 1}\{x \in E_i\,|\,f_i(x)<c\}$ merljiv kao najvise prebrojiva (disjunktna) unija merljivih, pa je i sama f merljiva

3) $f:M\longrightarrow C$ , gde je $m(M)=0$ a f proizvoljna

$\{x \in M\,|\,f(x)<c\}\subset M$ , pa je merljiv (mere nula), kao podkup skupa mere 0, dakle f je merljiva

????
Sta fali? Uporno nesto propustam, ne izgleda mi ovo kako treba...
Izvinjavam se na upornosti :)

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 06.11.2010. u 18:58 · pre 195 meseci #27

Neka je $A_n=\{(2y,y)\,|\,n\leq y<n+1\}$ . Tada za svako $m\in N$ važi $A_n\subseteq\cup_{k=mn}^{mn+m-1}[k/n,(k+1)/n)\times[2k/n,2(k+1)/n)$ , odakle je $m(A_n)\leq 2/m$ , odnosno $m(A_n)=0$ , pa je i $m(A)=0$ . Takođe, možeš na integral karakteristične funkcije skupa $A$ da primeniš Fubinijevu teoremu.

Ovo ostalo ti je u redu.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 06.11.2010. u 19:17 · pre 195 meseci #28

NEPROCENJIVO! :)))

Hvala jos jednom!

P.S. Uputstvo je bilo,doslovce, savrseno

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 07.11.2010. u 11:14 · pre 195 meseci #29

Prava je merljiv skup kao zatvoren skup, a karakteristična funkcija merljivog skupa je merljiva. Kada to znaš, onda meru skupa možeš odrediti kao integral karakteristične funkcije preko Fubinijeve teoreme.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 07.11.2010. u 16:13 · pre 195 meseci #30

E, pa, tako Vam i treba kad zbunjujete zbunjenog!

Sad ne znam sta bih sa Fubinijem!

Ovo, sledece?

$A=\{(2y+q, y) \in R^2\,|\;\ q \in Q \}$ , kao i gore, pa je

$m(A) &=& \int_{R^2} {\chi_{\scriptscriptstyle A} (x,y) dm_{R^2}} \\ \\&=& \int_{R} {dm_R}\int_{R} {\chi_{\scriptscriptstyle A} (x,y)dm_R \\ &=& \int_R0\;\ dm_R =0$

s tim sto je $\int_R { {\chi_{\scriptscriptstyle A} (x,y)dm_R = 0$ kao povrsina ispod $\chi$ ,koje je jednostavna funkcija i uzima vrednost 1 na skupu mere 0 (samo kad je x=2y+q po 'x osi', za svako fixirano q po jednom, dakle na skupu mere m(Q)=0), i 0 inace.

Smem da Fubinija ovako upotrebim? (posto ne mogu da izjednacim Rimana i Lebega jer mi f-ja nije neprekidna)

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 07.11.2010. u 17:27 · pre 195 meseci #31

$m(A)=\int_Rdx\int_R\chi_A(x,y)\,dy=\int_R0\,dx=0$ .

Pritom je $\int_R\chi_A(x,y)\,dy=0$ za svako $x\in R$ jer je podintegralna funkcija različita od nule na skupu $A_x=\{y\in R\,|\,x-2y\in Q\}$ , koji je mere nula kao prebrojiv.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 07.11.2010. u 22:11 · pre 194 meseca #32

Jedva protumacih...

Da, to sam otprilike i ja pokusavala da kazem ,samo u opisnom maniru, posto nisam umela bolje. I u mom zapisu je Vas $A_x=\{y\in R\,|\,x-2y\in Q\}$ skup bio $A_y=\{x\in R\,|\,x-2y\in Q\}$ posto mi je 'unutrasnji' integral po x-osi. Sad je valjda OK.

I moram da korigujem Vas prethodni post (greska pri kucanju), tek da nekom sledecem studentu olaksam...

Citat:

Nedeljko: Neka je $A_n=\{(2y,y)\,|\,n\leq y<n+1\}$ . Tada za svako $m\in N$ važi $A_n\subseteq\cup_{k=mn}^{mn+m-1}[k/n,(k+1)/n)\times[2k/n,2(k+1)/n)$ , odakle je $m(A_n)\leq 2/m$ , odnosno $m(A_n)=0$ , pa je i $m(A)=0$ . Takođe, možeš na integral karakteristične funkcije skupa $A$ da primeniš Fubinijevu teoremu.

Ovo ostalo ti je u redu.

Treba:

$A_n\subseteq\cup_{k=mn}^{mn+m-1}[k/m,(k+1)/m)\times[2k/m,2(k+1)/m)$ tj, imenilac je m

Ne znam kako da Vam zahvalim za sve ovo; mozda izgleda kao jedan zadatak, ali sam mnogo stvari razjasnila zahvaljujuci ovoj prepisci.

Hvala Vam jos jednom
Pozdrav!

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 10.11.2010. u 17:34 · pre 194 meseca #33

Opet problem...

Zadatak 1 Neka je f analiticka u oblasti $D \subset C$ i neka je $Im (f(z))=2, \;\ z \in D$ . Dokazati da je f konstantna funkcija.

Zadatak 2 Neka je f analiticka u oblasti $D \subset C$ ,takva da je $Ref(z))>0\;\ i \;\ arg(f(z))= \frac{2\pi}{2009},\;\ z \in D$ . Dokazati da je f const.

Izgleda mi da se oba rade preko principa minimuma samo nikako da vidim zasto $\exists z_0 \in D$ u kome f uzima minimalnu vrednost.

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 10.11.2010. u 23:23 · pre 194 meseca #34

Rešavaju se primenom Koši-Rimanovih uslova i to u Dekartovim koordinatama za prvi, odnosno polarnim za drugi zadatak.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 10.11.2010. u 23:30 · pre 194 meseca #35

Hvala!
Stvarno mi to nije palo na pamet...ocekivala sam nesto komplikovanije :)

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 11.11.2010. u 13:41 · pre 194 meseca #36

Postoji i opštiji pristup za rešavanje ovih problema.

Prvo, analitička funkcija čiji skup nula ima bar jednu tačku nagomilavanja u unutrašnjosti oblasti je konstantna u celoj oblasti. Iz toga i Tejlorove teoreme sledi da za ma koju nekonstantnu analitičku funkciju $f:D\longrightarrow C$ , gde je $D\subseteq C$ neka oblast i svaku unutrašnju tačku $z_0$ oblasti $D$ postoje $n\in N$ i analitička funkcija $g:D\longrightarrow C$ takvi da je $f(z)=f(z_0)+(z-z_0)^ng(z)$ i $g(z_0)\neq 0$ . Odatle sledi da slika bilo koje okoline tačke $z_0$ obuhvata sve tačke neke okoline tačke $f(z_0)$ , odnosno da je slika otvorenog i povezanog skupa pri nekonstantnom analitičkom preslikavanju otvoren i povezan skup (povezanost sledi otuda što je slika povezanog skupa pri neprekidnom preslikavanju povezan skup).

Zaista, najpre postoji analitička funkcija $h:D\longrightarrow C$ takva da je $g(z)=g(z_0)+(z-z_0)h(z)$ . Neka je dato $\varepsilon>0$ takvo da $|z-z_0|\leq\varepsilon\Rightarrow z\in D$ . Za neko $M>0$ važi $|z-z_0|\leq\varepsilon\Rightarrow|h(z)|\leq M$ . Neka je $\varepsilon_1=\min\{\varepsilon, |g(z_0)|/(2M)\}$ . Tada važi $|z-z_0|=\varepsilon_1\Rightarrow|h(z)(z-z_0)^{n+1}|\leq\frac{|g(z_0)|}2\varepsilon_1^n$ . Neka je $w_0$ proizvoljan kompleksan broj takav da je $|w_0-f(z_0)|<\frac{|g(z_0)|}2\varepsilon_1^n$ . Dokažimo da postoji $z_1\in D$ takvo da je $|z_1-z_0|<\varepsilon_1$ i $f(z_1)=w_0$ .

Zaista, $f(z)-w_0=f(z_0)-w_0+(z-z_0)^ng(z_0)+(z-z_0)^nh(z)$ , kao i $|(z-z_0)^{n+1}h(z)|<|f(z_0)-w_0+(z-z_0)^ng(z_0)|$ za $|z-z_0|=\varepsilon_1$ , pa je prema Rušeovoj teoremi dovoljno dokazati da je $f(z_0)-w_0+(z_1-z_0)^ng(z_0)$ za neko $z_1$ za koje je $|z_1-z_0|<\varepsilon_1$ . Ta jednačina je ekvivalentna sa $(z_1-z_0)^{n+1}=\frac{w_0-f(z_0)}{g(z_0)}$ . No, traženo rešenje postoji zbog $\left|\frac{w_0-f(z_0)}{g(z_0)}\right|<\varepsilon_1^n$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 12.11.2010. u 06:58 · pre 194 meseca #37

Jasni su mi koraci, ali ne znam da li dobro sagledavam poentu...

Primenjeno na gore navedene zadatke:

$f(D)=G$ gde je G prakticno interval na pravoj (uz pretpostavku $f \neq const$ )
Ako posmatram $f(z_0)$ proizvoljno blisko granici oblasti G, uvek mogu da nadjem $z_1 \in D$ koje se slika u okolinu tacke $f(z_0)$ , sto, s obzirom na 'prirodu' oblasti G upravo znaci da postoji $z_1 \in D$ za koje $|f|$ dostize minimalnu vrednost ?

P.S. Sutra polazem pismeni, za par dana cu Vam javiti kako smo prosli na istom :)

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 12.11.2010. u 08:09 · pre 194 meseca #38

Ma, slika otvorenog skupa je otvoren skup. D je otvoren, G nije otvoren, gotovo. Takodje, svaka unutrašnja tačka od D se mora slikati u unutrašnju tačku od G. Nema veze sa principom minimuma/maksimuma modula, već sa principom očuvanja oblasti.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 12.11.2010. u 08:17 · pre 194 meseca #39

Pa tako mi kazite! Ja se uhvatila za minimum kao pijan plota, i ne vidim dalje od toga...

Re: Pomoc u vezi sa RIKF-om 07.02.2013. u 09:56 · pre 167 meseci #40

Da li mi neko može reći , kako iz ovih uslova da nađem koeficijente a,b i c tako da dati polinom bude drugog stepena.
Rešavajući ova tri integrala dobijam tri jednačine sa tri promenljive ali dobijem da je koefcijent a jednak nuli, što nije dobro.
Da li je dobra postavka ovih integrala? Inače zadatak glasi : Naći polinom drugog stepena koji je najbliži vektoru sinx u realnom Hilbertovom prostoru

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme