Da li je skup zatvoren?

Da li je skup zatvoren? 29.05.2010. u 20:27 · pre 199 meseci #1

U prostoru neprekidnih funkcija na segmentu C[a,b] dat je skup A koji sadrzi sve (neprekidne) funkcije koje imaju bar jednu nulu na [a,b]. Dokazati da je skup A zatvoren skup u C[a,b].

Pokusao sam da dokazem da A sadrzi granicnu funkciju svakog konvergentnog funkcionalnog niza iz A, jer bi to znacilo da je skup zatvoren. Ali ne ide mi nesto. Dobijem da granicna funkcija tezi nuli u nekoj tacki segmenta sto ne mora znaciti da je element skupa A. Mozda ovo i nije najlaksi nacin za dokaz...

Re: Da li je skup zatvoren? 29.05.2010. u 22:02 · pre 199 meseci #2

Neka je $[a,b]=[0,1]$ i $f_n(x)=nx$ . Ovo je niz neprekidnih funkcija koje u datom segmentu imaju nulu, ali taj niz funkcija divergira. Navedeni skup nije zatvoren.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Da li je skup zatvoren? 30.05.2010. u 00:34 · pre 199 meseci #3

Nisu ni bitni divergentni nizovi, samo konvergentni.

Evo kako sam ja pokusao.
Neka je fn konvergentan niz funkcija iz A koji konvergira ka f. Tada niz i ravnomjerno konv. ka f. Pa za svako €>0 (epsilon) i dovoljno veliko n (vece od n0) imamo
| fn(x) - f(x) | < € za svako x iz intervala. Neka je k > n0 i neka funkcija fk(x) ima nulu u tacki c intervala [a,b]. Pa je
| fk(c) - f(c) | < €, a odavde je
| f(c) | < €, sto znaci da je
lim f(x) = 0 (kad x tezi c). E sta sad? Jel ovo znaci da f ima nulu u [a,b]?

Re: Da li je skup zatvoren? 30.05.2010. u 10:01 · pre 199 meseci #4

E, da, ja sam dokazao da taj skup nije kompaktan.

Da, ako je $f$ neprekidno i $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=0$ i $c\in[a,b]$ (što je ispunjeno zbog zatvorenosti domena), onda je $f(c)=0$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Da li je skup zatvoren? 30.05.2010. u 11:31 · pre 199 meseci #5

f je neprekidno zbog ravnomjerne konvergencije (posto su i fn neprekidne).
Znaci, vazi da je f(c) = 0, zato sto je c iz segmenta [a,b] i f je neprekidno. A da je (a,b) npr. interval ne bi moralo to da vazi? Pa je i skup A zatvoren.

Re: Da li je skup zatvoren? 30.05.2010. u 12:10 · pre 199 meseci #6

Da.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Da li je skup zatvoren? 12.06.2010. u 20:32 · pre 199 meseci #7

Opet je netacno. A obrazlozenje je da iz |f(c)|<€ (za svako €<0) ne slijedi da je
lim f(x) = 0 (kad x tezi c) bez obzira sto je c iz segmenta[a,b]...

Re: Da li je skup zatvoren? 12.06.2010. u 21:01 · pre 199 meseci #8

Vajerstrasova teorema vam resava ovo. Ona tvrdi da, ako je $f(x)$ neprekidna na zatvorenom intervalu $[a,b]$ onda je ona i ogranicena na $[a,b]$ . Ne secam se dokaza.

Potpis

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. A. Einstein

Re: Da li je skup zatvoren? 12.06.2010. u 21:43 · pre 199 meseci #9

Evo kompletnog rešenja:

Neka $f_n:[a,b]\longrightarrow R$ neprekidno i neka je $f_n(x_n)=0$ . Pretpostavimo da $f_n\rightarrow f$ ravnomerno na $[a,b]$ . Jasno, u tom slučaju $f$ mora biti neprekidno.

Neka je $\varepsilon>0$ . Izaberimo takvo $n_0\in N$ da za svako $n\geq n_0$ važi $||f_n-f||<\varepsilon$ . Tada je $|f(x_{n_0})|=|f(x_{n_0})-f_{n_0}(x_{n_0})|<\varepsilon$ , pa je $\inf_{x\in[a,b]}|f(x)|=0$ . Međutim, zajedno sa $f$ i funkcija $|f|$ mora biti neprekidna, pa dostiže minimum u nekoj tački $c\in[a,b]$ , pa je $f(c)=0$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Da li je skup zatvoren? 13.06.2010. u 10:27 · pre 199 meseci #10

Da li onda moze biti
c=a (ili b) i f(c) razlicito od nula iako je |f| neprekidno?

Re: Da li je skup zatvoren? 13.06.2010. u 11:32 · pre 199 meseci #11

$|f(c)|=\min_{x\in[a,b]}|f(x)|=0$ .

$c\in[a,b]$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Srodne teme