U prostoru neprekidnih funkcija na segmentu C[a,b] dat je skup A koji sadrzi sve (neprekidne) funkcije koje imaju bar jednu nulu na [a,b]. Dokazati da je skup A zatvoren skup u C[a,b].
Pokusao sam da dokazem da A sadrzi granicnu funkciju svakog konvergentnog funkcionalnog niza iz A, jer bi to znacilo da je skup zatvoren. Ali ne ide mi nesto. Dobijem da granicna funkcija tezi nuli u nekoj tacki segmenta sto ne mora znaciti da je element skupa A. Mozda ovo i nije najlaksi nacin za dokaz...
Nisu ni bitni divergentni nizovi, samo konvergentni.
Evo kako sam ja pokusao.
Neka je fn konvergentan niz funkcija iz A koji konvergira ka f. Tada niz i ravnomjerno konv. ka f. Pa za svako €>0 (epsilon) i dovoljno veliko n (vece od n0) imamo
| fn(x) - f(x) | < € za svako x iz intervala. Neka je k > n0 i neka funkcija fk(x) ima nulu u tacki c intervala [a,b]. Pa je
| fk(c) - f(c) | < €, a odavde je
| f(c) | < €, sto znaci da je
lim f(x) = 0 (kad x tezi c). E sta sad? Jel ovo znaci da f ima nulu u [a,b]?
f je neprekidno zbog ravnomjerne konvergencije (posto su i fn neprekidne).
Znaci, vazi da je f(c) = 0, zato sto je c iz segmenta [a,b] i f je neprekidno. A da je (a,b) npr. interval ne bi moralo to da vazi? Pa je i skup A zatvoren.
Neka neprekidno i neka je . Pretpostavimo da ravnomerno na . Jasno, u tom slučaju mora biti neprekidno.
Neka je . Izaberimo takvo da za svako važi . Tada je , pa je . Međutim, zajedno sa i funkcija mora biti neprekidna, pa dostiže minimum u nekoj tački , pa je .
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.