Da li je skup zatvoren?

U prostoru neprekidnih funkcija na segmentu C[a,b] dat je skup A koji sadrzi sve (neprekidne) funkcije koje imaju bar jednu nulu na [a,b]. Dokazati da je skup A zatvoren skup u C[a,b].

Pokusao sam da dokazem da A sadrzi granicnu funkciju svakog konvergentnog funkcionalnog niza iz A, jer bi to znacilo da je skup zatvoren. Ali ne ide mi nesto. Dobijem da granicna funkcija tezi nuli u nekoj tacki segmenta sto ne mora znaciti da je element skupa A. Mozda ovo i nije najlaksi nacin za dokaz...

Neka je i . Ovo je niz neprekidnih funkcija koje u datom segmentu imaju nulu, ali taj niz funkcija divergira. Navedeni skup nije zatvoren.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Nisu ni bitni divergentni nizovi, samo konvergentni.

Evo kako sam ja pokusao.
Neka je fn konvergentan niz funkcija iz A koji konvergira ka f. Tada niz i ravnomjerno konv. ka f. Pa za svako €>0 (epsilon) i dovoljno veliko n (vece od n0) imamo
| fn(x) - f(x) | < € za svako x iz intervala. Neka je k > n0 i neka funkcija fk(x) ima nulu u tacki c intervala [a,b]. Pa je
| fk(c) - f(c) | < €, a odavde je
| f(c) | < €, sto znaci da je
lim f(x) = 0 (kad x tezi c). E sta sad? Jel ovo znaci da f ima nulu u [a,b]?

E, da, ja sam dokazao da taj skup nije kompaktan.

Da, ako je neprekidno i i (što je ispunjeno zbog zatvorenosti domena), onda je .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

f je neprekidno zbog ravnomjerne konvergencije (posto su i fn neprekidne).
Znaci, vazi da je f(c) = 0, zato sto je c iz segmenta [a,b] i f je neprekidno. A da je (a,b) npr. interval ne bi moralo to da vazi? Pa je i skup A zatvoren.

Da.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Opet je netacno. A obrazlozenje je da iz |f(c)|<€ (za svako €<0) ne slijedi da je
lim f(x) = 0 (kad x tezi c) bez obzira sto je c iz segmenta[a,b]...

Vajerstrasova teorema vam resava ovo. Ona tvrdi da, ako je neprekidna na zatvorenom intervalu onda je ona i ogranicena na . Ne secam se dokaza.

Potpis

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. A. Einstein

Evo kompletnog rešenja:

Neka neprekidno i neka je . Pretpostavimo da ravnomerno na . Jasno, u tom slučaju mora biti neprekidno.

Neka je . Izaberimo takvo da za svako važi . Tada je , pa je . Međutim, zajedno sa i funkcija mora biti neprekidna, pa dostiže minimum u nekoj tački , pa je .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Da li onda moze biti
c=a (ili b) i f(c) razlicito od nula iako je |f| neprekidno?

.

.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.