Dokazati nejednakost

Odgovori Nova tema

3 odgovora
3.363 pregleda

Dokazati nejednakost 27.03.2008. u 12:48 · pre 226 meseci #1

Ako je a,b>0 dokazati da vrijedi ab+a/b+b/a >= 1+a+b

Re: Dokazati nejednakost 28.03.2008. u 01:08 · pre 226 meseci #2

Sredi izraz tako da dobiješ kvadratnu nejednačinu po $b$ :

$\left(a^2-a+1\right)b^2-a\left(a+1\right)b+a^2\ge 0$

Pošto je $a^2-a+1>0$ (što se lako može dokazati), kvadratna nejednačina će biti zadovoljena kada je diskriminanta manja ili jednaka nuli. Prema tome, zadatak se svodi na dokazivanje da je

$a^2\left(a+1\right)^2-4a^2\left(a^2-a+1\right)\le 0$

Re: Dokazati nejednakost 28.03.2008. u 06:37 · pre 226 meseci #3

Malo elegantnije, korišćenjem nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine:

$ab+{a\over b}\geq 2\sqrt{ab\cdot{a\over b}}=2a$

$ab+{b\over a}\geq 2\sqrt{ab\cdot{b\over a}}=2b$

${a\over b}+{b\over a}\geq 2\sqrt{{a\over b}\cdot{b\over a}}=2$

Sabiranjem gornjih triju nejednakosti i skraćivanjem sa dva, dobijamo traženi rezultat. Jednakost očigledno važi ako i samo ako $a=b=1$

Re: Dokazati nejednakost 28.03.2008. u 08:27 · pre 226 meseci #4

Hvala na odgovorima evo jos jedno rjesenje koje sam nasao u međuvremenu:Kad se pomnozi jednacina sa ab,a to se moze uraditi posto je a,b>0 i uvede smjena x=ab,y=a,z=b dobija se x^2+y^2+z^2>=xy+xz+yz a to slijedi iz (x-y)^2>=0,(x-z)^2>=0,(y-z)^2Y>=0.

Pozdrav.

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Srodne teme