Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

sin

[es] :: Matematika :: sin

[ Pregleda: 5062 | Odgovora: 18 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

nervozna
sicg

Član broj: 1868
Poruke: 317
*.cg.yu

ICQ: 153640035


Profil

icon sin21.05.2002. u 00:43 - pre 220 meseci
Vrednost sin(pi/8) se izracunava tako sto se aproksimira Maklorenovim razvojem:
sinx=x-(x^3)/3!+(x^5)/5!+...+(-1)^(n-1)*[x^(2*n-1)/(2*n-1)!]+Rn,pri cemu je
Rn=[x^(2*n+1)/(2*n+1)!]*(sina)^(2*n+1) sa konacno mnogo clanova,gde se za pi uzima pi*=3.14
Treba odrediti broj clanova razvoja tako da greska bude manja od 5*10^(-4)
poz

[Ovu poruku je menjao nervozna dana 21.05.2002 u 11:59 PM GMT]
beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi
 
Odgovor na temu

StratOS
Slovenija

Član broj: 2234
Poruke: 987
*.dsl.siol.net



+1 Profil

icon Re: sin21.05.2002. u 08:50 - pre 220 meseci
Ovaj problem je zaista dosta težak za točan odgovor, težak je zbog toga jer si opredjelila da je PI=3,14, a tebi treba broj članova za e=0,0005. Matematičko je striktni dokaz težak, no programski to mislim, da nije, samo trebaš ljepše da napišeš formulu za Rn !!!

Citat:

nervozna
Rn=[x^(2*n+1)/(2*n+1)!]*(sina)^(2*n+1)
sina ???


ja sam namjesto članova pisao ovako :
ako uzmeš : sinx=f(x,n)=x+Rn za n=1,2...
Rn=(-1)^n*x^(2*n+1)/(2*n+1)!
(Dali je to pravilno ili ti malo bolje napiši Rn !!)

negdje mora biti onda pogreška kod tvojeg 2 i 3 člana (x^3)/3 mora da bude onda (x^3)/3!

ako je tako kao što sam ja napisao onda :

n=1 f(n,x)=0,382422153645833 sin(pi/8)=0,38249949727601
n=2 f(n,x)=0,382499781406703 sin(pi/8)=0,38249949727601
n=3 f(n,x)=0,382499496667614 sin(pi/8)=0,38249949727601
n=4 f(n,x)=0,382499497276862 sin(pi/8)=0,38249949727601
n=5 f(n,x)=0,382499497276009 sin(pi/8)=0,38249949727601
n=6 f(n,x)=0,38249949727601 sin(pi/8)=0,38249949727601
itd ...
Pozdrav StratOS
"Multitasking - ability to f##k up several things at once."
"It works better if you plug it in."
"As a rule, software systems do not work well until they have been used, and have failed repeatedly, in real applications."
"The one who is digging the hole for the other to fall in is allready in it."
 
Odgovor na temu

nervozna
sicg

Član broj: 1868
Poruke: 317
*.cg.yu

ICQ: 153640035


Profil

icon Re: sin21.05.2002. u 23:51 - pre 220 meseci
Nisam primetila da sam izostavila faktorijel kad sam pisala postavku,hvala na ispravci.
Zadatak nije toliko problematicno resiti strogo matematicki,a radi se o takvom izboru da imamo greske u ulaznim podacima i greske koje pravi funkcija.U sina,ovo a predstavlja ugao koji je nama nepoznat i nepotreban,jer je Rn,bas onako kako sam napisala greska pri aproksimaciji sinusne funkcije.Nama zadatak i trazi da nadjemo broj clanova, koje na ovako zadatim uslovima mozemo naci sa preciznoscu greske manje od date vrednosti.Kad se taj broj odredi,onda dobijamo priblizan zapis za sin(pi/8).
Mislim da nisi pazljivo procitao sta zadatak trazi,dakle,on ne trazi vrednosti za n=1;2 itd,vec broj clanova(konacan)kojim ce se aproksimirati sin(pi/8).I zatim,po formuli,napisati aproksimacija istog
poz
beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi
 
Odgovor na temu

StratOS
Slovenija

Član broj: 2234
Poruke: 987
*.dsl.siol.net



+1 Profil

icon Re: sin22.05.2002. u 06:27 - pre 220 meseci
pa ako su moje funkcije identične onoj pravi onda je več za n=1 skoro riješenje, za n=2 se približimo za manje od e=0,0005
Citat:

n=1 f(n,x)=0,382422153645833 sin(pi/8)=0,38249949727601
n=2 f(n,x)=0,382499781406703 sin(pi/8)=0,38249949727601
n=3 f(n,x)=0,382499496667614 sin(pi/8)=0,38249949727601
n=4 f(n,x)=0,382499497276862 sin(pi/8)=0,38249949727601
n=5 f(n,x)=0,382499497276009 sin(pi/8)=0,38249949727601
n=6 f(n,x)=0,38249949727601 sin(pi/8)=0,38249949727601


[Ovu poruku je menjao StratOS dana 12.06.2002 u 09:01 PM GMT]
Pozdrav StratOS
"Multitasking - ability to f##k up several things at once."
"It works better if you plug it in."
"As a rule, software systems do not work well until they have been used, and have failed repeatedly, in real applications."
"The one who is digging the hole for the other to fall in is allready in it."
 
Odgovor na temu

nervozna
sicg

Član broj: 1868
Poruke: 317
*.cg.yu

ICQ: 153640035


Profil

icon Re: sin22.05.2002. u 23:35 - pre 220 meseci
Ja ti opet moram skrenuti paznju na postavku zadatka.Ne mozes je menjati,ona eksplicitno trazi broj clanova u MAKLORENOVOM razvoju,za date podatke.
poz
beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi
 
Odgovor na temu

tOwk
Danilo Šegan
Zemun/Beograd

Član broj: 94
Poruke: 2743
*.beotel.net

ICQ: 9344053
Sajt: alas.matf.bg.ac.yu/~mm011..


+2 Profil

icon Re: sin25.05.2002. u 04:22 - pre 220 meseci
Posto se koristi Maklorenov polinom, vrednost a mora biti izmedju 0 i 3.14/8.
Jedna vrednost n koja ce sigurno dovesti do zeljene tacnosti je ona za koju je R_n manje od trazene greske kada se sin a zameni sa 1. Medjutim, kako se radi o izvodima koji iznose sin(a+(2n+1)pi/2) (ili nesto slicno, proverite za vezbu :), treba naci najmanju vrednost n za koje je R(n)-\epsilon<0. Ovo je najlakse postepenom evaluacijom clanova, ali to ne verujem da je ono sto trazis, pa preporucujem zamenu sinusnog izraza sa 1, i resavanje po n.

Napominjem da ovakav postupak ispunjava uslov za vrednost 3.14/8, a ne pi/8. U drugom slucaju potrebno je na R(n) dodati gresku pri racunanju Maklorenovog polinoma netacnom vrednoscu od 3.14/8 (za svaki clan odgovarajucu), pa se zbog toga i povecava broj clanova. Izraz za gresku formulises prema uobicajenoj diferencijalnoj formuli za gresku izraza, i dobijas red gresaka. Kako se sve greske sabiraju, moze se desiti da opsti clan ovog reda ne tezi nuli (sto je i ocekivano --- ne moze se izracunati na taj nacin sin(pi/8) kao sin(3.14/8) na 100 tacnih cifara).

Nadam se da je ovo pomoglo,
Toliko.

Možda se moje mišljenje promenilo, ali ne i činjenica da sam u pravu.
 
Odgovor na temu

nervozna
sicg

Član broj: 1868
Poruke: 317
195.66.185.*

ICQ: 153640035


Profil

icon Re: sin26.05.2002. u 00:58 - pre 220 meseci
Zbog unapred zadatog pi*=3,14 aproksimacija pravi dve greske.jedna je greska koju pravi polinom,a drugu pravi funkcija(zbog priblizne vrednosti broja pi)
Kako je sinx ovde definisan na R,to ce u formuli za gresku koju pravi polinom(diferencijalna formula)biti samo jedan izvod,prvi izvod funkcije.Tako izracunavanjem,primenjujuci u ovoj formuli da je cosx(kao izvod od sinx) po apsolutnoj vrednosti manji od 1,dobijamo ocenu greske polinoma.
Za ocenu greske koju pravi funkcija,imamo u zadatku dat izraz.Kako je zbir ovih dveju gresaka ukupna greska,to ce se greska funkcije traziti po uslovu zadatka i greke koju smo vec izracunali.I tu cemo koristiti zamenu apsolutne vrednosti funkcije sa 1,pa cemo dobiti eksponencijalnu jednacinu stepena 2*n+1.cijim se resavanjem dobija broj clanova koji se trazi u zadatku.
poz
beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi
 
Odgovor na temu

tOwk
Danilo Šegan
Zemun/Beograd

Član broj: 94
Poruke: 2743
*.beotel.net

ICQ: 9344053
Sajt: alas.matf.bg.ac.yu/~mm011..


+2 Profil

icon Re: sin30.05.2002. u 13:11 - pre 220 meseci
Citat:
nervozna:
Zbog unapred zadatog pi*=3,14 aproksimacija pravi dve greske.jedna je greska koju pravi polinom,a drugu pravi funkcija(zbog priblizne vrednosti broja pi)


Tako nešto...

Citat:

Kako je sinx ovde definisan na R,to ce u formuli za gresku koju pravi polinom(diferencijalna formula)biti samo jedan izvod,prvi izvod funkcije.

Ne razumem rezonovanje??? U formuli za grešku se i nalazi samo jedan izvod, ali se radi o nekom višeg reda ((2n+1)-om ili kojem već), međutim i taj izvod se može izraziti preko sinusne funkcije kako je gore navedeno, pa se zato može upotrebiti kao majoranta skupa vrednosti ovog izvoda od 1. Ne vidim kako se dolazi do prvog izvoda u izrazu za grešku.

Citat:

Tako izracunavanjem,primenjujuci u ovoj formuli da je cosx(kao izvod od sinx) po apsolutnoj vrednosti manji od 1,dobijamo ocenu greske polinoma.
Za ocenu greske koju pravi funkcija,imamo u zadatku dat izraz.Kako je zbir ovih dveju gresaka ukupna greska,to ce se greska funkcije traziti po uslovu zadatka i greke koju smo vec izracunali.I tu cemo koristiti zamenu apsolutne vrednosti funkcije sa 1,pa cemo dobiti eksponencijalnu jednacinu stepena 2*n+1.cijim se resavanjem dobija broj clanova koji se trazi u zadatku.
poz


Ne razumem ni koja je još ,,zamena apsoultne vrednosti funkcije sa 1'' potrebna pošto se radi samo o Maklorenovom polinomu, koji je zaista polinom, i onda se njegova greška računa ili pomoću diferencijalne formule za grešku, ili pomoću pravila za relativne greške (što je ekvivalentno). U razvoju Maklorenovog polinoma se ne javlja sinusna funkcija nigde, a to mu je i svrha.

Postupak koji navodiš je inače ispravan (osim ovih ,,nedostataka'' i nepreciznosti).

Kako kuriozitet treba napomenuti da se upravo ovakav Maklorenov polinom ponekad koristi i kao definicija sinusne funkcije (naravno kao beskonačan red sa odgovarajućim opštim članom).

Toliko.
Možda se moje mišljenje promenilo, ali ne i činjenica da sam u pravu.
 
Odgovor na temu

nervozna
sicg

Član broj: 1868
Poruke: 317
195.66.185.*

ICQ: 153640035


Profil

icon Re: sin01.06.2002. u 00:56 - pre 220 meseci
Citat:
tOwk:


Ne razumem rezonovanje??? U formuli za grešku se i nalazi samo jedan izvod, ali se radi o nekom višeg reda ((2n+1)-om ili kojem već), međutim i taj izvod se može izraziti preko sinusne funkcije kako je gore navedeno, pa se zato može upotrebiti kao majoranta skupa vrednosti ovog izvoda od 1. Ne vidim kako se dolazi do prvog izvoda u izrazu za grešku.




U formuli za gresku,koju pravi polinom,radi se o apsolutnoj gresci,gde se nalaze parcijalni izvodi funkcije(njihova suma) i to prvog reda.Kako je sinusna funkcija definisana na R,nece biti tih parcijalnih izvoda,vec samo jedan jedini;radi odredjenja-prvi izvod funkcije.U formuli za gresku Maklorenovog polinoma (koja je data u zadatku)imamo izvod viseg reda,to je greska koju pravi funkcija,i tu se radi o relativnoj gresci(koja zavisi od broja clanova do kojih dolazimo razvijanjem Maklorenovog polinoma).Zamenu apsolutne vrednosti sinx vrsimo supremumom skupa vrednosti,dakle jednicom,ne bilo kojom majorantom.a uopste je vrsimo zato sto nam je potrebno gornje ogranicenje greske,tj. da bismo dobili najvecu mogucu gresku.




Citat:

Ne razumem ni koja je još ,,zamena apsoultne vrednosti funkcije sa 1'' potrebna pošto se radi samo o Maklorenovom polinomu, koji je zaista polinom, i onda se njegova greška računa ili pomoću diferencijalne formule za grešku, ili pomoću pravila za relativne greške (što je ekvivalentno). U razvoju Maklorenovog polinoma se ne javlja sinusna funkcija nigde, a to mu je i svrha.





U zadatku je data formula za gresku funkcije,koja je nastala aproksimacijom polinomom za n clanova razvoja.Zato tu gresku racunamo po toj formuli(koja se,po definiciji, uzima za formulu za relativnu gresku,kad sinusnu funkciju aproksimiramo ovim polinomom za n clanova) a radi se o relativnoj gresci,jer bi drugacije izgledala sama formula za neki drugi broj clanova.U razvoju Maklorenovog polinoma upravo tu se javlja sinusna funkcija,a sama vrednost greske se smanjuje(tezi nuli) kad n tezi beskonacnosti.Svrha tog polinoma je sto bolja aproksimacija polazne funkcije.

poz
beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi
 
Odgovor na temu

tOwk
Danilo Šegan
Zemun/Beograd

Član broj: 94
Poruke: 2743
*.verat.net

ICQ: 9344053
Sajt: alas.matf.bg.ac.yu/~mm011..


+2 Profil

icon Re: sin04.06.2002. u 18:45 - pre 220 meseci
Citat:
nervozna:
U formuli za gresku,koju pravi polinom,radi se o apsolutnoj gresci,gde se nalaze parcijalni izvodi funkcije(njihova suma) i to prvog reda.Kako je sinusna funkcija definisana na R,nece biti tih parcijalnih izvoda,vec samo jedan jedini;radi odredjenja-prvi izvod funkcije.U formuli za gresku Maklorenovog polinoma (koja je data u zadatku)imamo izvod viseg reda,to je greska koju pravi funkcija,i tu se radi o relativnoj gresci(koja zavisi od broja clanova do kojih dolazimo razvijanjem Maklorenovog polinoma).Zamenu apsolutne vrednosti sinx vrsimo supremumom skupa vrednosti,dakle jednicom,ne bilo kojom majorantom.a uopste je vrsimo zato sto nam je potrebno gornje ogranicenje greske,tj. da bismo dobili najvecu mogucu gresku.


I dalje mi se čini da je Maklorenov polinom zaista polinom, i da će kada se uzme izvod tog izraza (x-x^3/3!+x^5/5!-...) formula za grešku opet biti polinom bez ikakvog učešća sinusne, odnosno kosinusne funkcije (Dx-3x^2Dx/3!+5x^4Dx/5!-...). Ovde sam sa Dx označio grešku od x (koja se može tretirati kao .005, zbog date vrednosti 3.14 za pi). Tako se dobije greška pri izračunavanju polinoma sa približnom vrednošću x, a da li se radi o sinusnoj ili nekoj drugoj funkciji koju aproksimiramo ovim polinomom nema značaja.

To naravno ima značaja kada izračunavamo deo ,,Maklorenove'' greške, i zato sam ja predložio majorantu 1 kao najlakšu za računanje. Međutim, funkcija sinus u intervalu od 0 do pi/8, uzima vrednosti samo između 0 i sin pi/8<0.5, pa je supremum skupa ovih vrednosti upravo sin pi/8 (znači nisam slučajno rekao majoranta). Dalje, mi ako izaberemo bilo koju (i baš bilo koju) majorantu skupa tih vrednosti, procenićemo koliko je članova polinoma dovoljno da se dobije tražena greška, ali to ne znači da će toliko članova biti i neophodno. Prema tome, jednake garancije imamo da će nam vrednost 1 dati najmanji (neophodan) broj članova, kao i broj 2, ili 100. Vrednost 1 je najlakša za računanje i najmanje razmišljanja treba posvetiti problemu, a u ovom slučaju je pogodna i zbog pojave izvoda funkcije sinus, koji će opet biti trigonometrijska funkcija koja je ograničena u istom intervalu kao i sinus.

Prema tome, ako bismo tražili izričito najmanji broj članova, za svaki broj članova bismo imali drugačiji supremum dotičnog skupa vrednosti, i zato je nama najlakše da izaberemo 1. Takođe je u ovom slučaju 1 i supremum skupa vrednosti datog (2n+1)-og izvoda sinusne funkcije, pa je to definitivni razlog za izbor ove konkretne vrednosti.

Citat:

U zadatku je data formula za gresku funkcije,koja je nastala aproksimacijom polinomom za n clanova razvoja.Zato tu gresku racunamo po toj formuli(koja se,po definiciji, uzima za formulu za relativnu gresku,kad sinusnu funkciju aproksimiramo ovim polinomom za n clanova) a radi se o relativnoj gresci,jer bi drugacije izgledala sama formula za neki drugi broj clanova.


,,Greška funkcije'' (Lagranžev oblik ostatka --- tako ga zovu čini mi se, ispravi me ako grešim) predstavlja apsolutnu grešku. Tu nema nikakve relativne greške. Čak, ni ovo se ne uzima po definiciji već se može dokazati u malo opštijem slučaju kao Šlemilh-Rošov oblik ostatka, čiji je Lagranžev oblik samo jedan specijalan slučaj.

Citat:

U razvoju Maklorenovog polinoma upravo tu se javlja sinusna funkcija,a sama vrednost greske se smanjuje(tezi nuli) kad n tezi beskonacnosti.Svrha tog polinoma je sto bolja aproksimacija polazne funkcije.


I dalje insistiram na tome da se sinusna funkcija ne javlja nigde u Maklorenovom polinomu za sinusnu funkciju (to bi bilo malo i besmisleno---zar ne? pokušavamo da izračunamo vrednosti sinusne funkcije pomoću sinusne funkcije---što znači da već umemo da izračunamo vrednost sinusne funkcije, i tako u krug).
Sinusna funkcija se javlja u ostatku, i njenom zamenom sa 1 je uklanjamo. Tu mi stvaramo izvesnu grešku pri računanju ostatka (ili ,,greške''), ali pošto na taj način uvećavamo vrednost te greške, to nam ne stvara problem sve dok ne treba zaista da odredimo najmanji neophodan broj članova.

Toliko.
</tr>
</table>[/code]
Ako h
Možda se moje mišljenje promenilo, ali ne i činjenica da sam u pravu.
 
Odgovor na temu

nervozna
sicg

Član broj: 1868
Poruke: 317
*.cg.yu

ICQ: 153640035


Profil

icon Re: sin05.06.2002. u 01:53 - pre 220 meseci
Citat:
tOwk:

I dalje mi se čini da je Maklorenov polinom zaista polinom, i da će kada se uzme izvod tog izraza (x-x^3/3!+x^5/5!-...) formula za grešku opet biti polinom bez ikakvog učešća sinusne, odnosno kosinusne funkcije (Dx-3x^2Dx/3!+5x^4Dx/5!-...). Ovde sam sa Dx označio grešku od x (koja se može tretirati kao .005, zbog date vrednosti 3.14 za pi). Tako se dobije greška pri izračunavanju polinoma sa približnom vrednošću x, a da li se radi o sinusnoj ili nekoj drugoj funkciji koju aproksimiramo ovim polinomom nema značaja.

Pa naravno da jeste Maklorenov polinom zaista polinom!Tek sam ovde videla na sta si ti mislio kad potenciras to.Ovde se ne trazi greska tog polinoma kao polinoma,vec greska koja je nastala aproksimacijom tim polinomom!Dakle,u pitanju je greska koju pravi polinom,ali u aproksimaciji bas ove funkcije,ne greska koju on pravi sam po sebi.To je velika razlika,jer onda teorijski ne bi imalo znacaja racunati gresku za svaku funkciju posebno.Pre svega,odmah je jasno da se aproksimacijom pravi greska,ali je greska u sferi tacne i priblizne vrednosti rezultata sinusa nekog broja.Zato na ovom mestu racunamo gresku koju je polinom aproksimacijom napravio,ali u rezultatu sinusa datog broja,pa gresku i racunamo sinusnom funkcijom.
Citat:

To naravno ima značaja kada izračunavamo deo ,,Maklorenove'' greške, i zato sam ja predložio majorantu 1 kao najlakšu za računanje. Međutim, funkcija sinus u intervalu od 0 do pi/8, uzima vrednosti samo između 0 i sin pi/8<0.5, pa je supremum skupa ovih vrednosti upravo sin pi/8 (znači nisam slučajno rekao majoranta). Dalje, mi ako izaberemo bilo koju (i baš bilo koju) majorantu skupa tih vrednosti, procenićemo koliko je članova polinoma dovoljno da se dobije tražena greška, ali to ne znači da će toliko članova biti i neophodno. Prema tome, jednake garancije imamo da će nam vrednost 1 dati najmanji (neophodan) broj članova, kao i broj 2, ili 100. Vrednost 1 je najlakša za računanje i najmanje razmišljanja treba posvetiti problemu, a u ovom slučaju je pogodna i zbog pojave izvoda funkcije sinus, koji će opet biti trigonometrijska funkcija koja je ograničena u istom intervalu kao i sinus.

Objasnjenje stoji i na mestu je ako se ne osvrnemo na uslove zadatka.Nama zadatak ne daje podatke koji su sigurni,on nam trazi da ih nadjemo.Supremum skupa vrednosti funkcije(bez ikakvih konkretizacija),bas zato sto vazi za svaku tacku domena,a ne opterecuje je bespotrebnim sirenjem(supremum je najmanja majoranta) jeste garancija i neophodnosti i dovoljnosti.Drugi razlog uzimanja supremuma je izbegavanje greske koju bi cos kao funkcija napravio,kad imamo konkretan broj.Zato se i radi o apsolutnoj gresci,u gresci aproksimacije polinomom,koju pravi polinom.

Citat:

Prema tome, ako bismo tražili izričito najmanji broj članova, za svaki broj članova bismo imali drugačiji supremum dotičnog skupa vrednosti, i zato je nama najlakše da izaberemo 1. Takođe je u ovom slučaju 1 i supremum skupa vrednosti datog (2n+1)-og izvoda sinusne funkcije, pa je to definitivni razlog za izbor ove konkretne vrednosti.

Supremum funkcije je definisan na nivou kodomena funkcije,celog,i ako se izricito ne trazi drugacije,to se podrazumeva.Pa je taj supremum uvek isti


Citat:
,,Greška funkcije'' (Lagranžev oblik ostatka --- tako ga zovu čini mi se, ispravi me ako grešim) predstavlja apsolutnu grešku. Tu nema nikakve relativne greške. Čak, ni ovo se ne uzima po definiciji već se može dokazati u malo opštijem slučaju kao Šlemilh-Rošov oblik ostatka, čiji je Lagranžev oblik samo jedan specijalan slučaj.

Uopste nije bitno da li je taj ostatak specijalan slucaj ovoga ili onoga.Po toj logici,sve definicije koje vaze u realnom prostoru dimenzije 1,ne bi se mogle uzimati kao definicije,jer se sve mogu dokazati na nivou realnog prostora dimenzije n.
Langranzeov oblik ostatka,sam po sebi ,jeste apsolutna greska,ali kao greska funkcije je relativna greska.To je nijansa,jer za probleme ovog tipa vazan je broj clanova od kojih ona zavisi,kao sto je vazna i unapred zadata greska,od koje takodje zavisi i vazan je sam broj koji je dat u zadatku(pi/8),takodje od kog zavisi(sto sam zaboravila da pomenem ranije).


Citat:

I dalje insistiram na tome da se sinusna funkcija ne javlja nigde u Maklorenovom polinomu za sinusnu funkciju (to bi bilo malo i besmisleno---zar ne? pokušavamo da izračunamo vrednosti sinusne funkcije pomoću sinusne funkcije---što znači da već umemo da izračunamo vrednost sinusne funkcije, i tako u krug).
Sinusna funkcija se javlja u ostatku, i njenom zamenom sa 1 je uklanjamo. Tu mi stvaramo izvesnu grešku pri računanju ostatka (ili ,,greške''), ali pošto na taj način uvećavamo vrednost te greške, to nam ne stvara problem sve dok ne treba zaista da odredimo najmanji neophodan broj članova.

Pa ne vidim sta je tu problem?I ja kazem da se sinusna funkcija javlja u ostatku i jedino tu.(S napomenom da je to ostatak i da se moze zanemariti,kad nam ne treba za ovakav problem,gde bas trazimo gresku.)Sinusna funkcija se javlja u razvoju tog polinoma,ali je u polinomu nema.Da kazem precizno,jer razvoj polinoma nije isto sto i polinom(mada se u mnogim slucajevima poklapa).

pozcom/test/imgs/center.gif" bord
beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi
 
Odgovor na temu

tOwk
Danilo Šegan
Zemun/Beograd

Član broj: 94
Poruke: 2743
*.verat.net

ICQ: 9344053
Sajt: alas.matf.bg.ac.yu/~mm011..


+2 Profil

icon Re: sin07.06.2002. u 03:41 - pre 220 meseci
Citat:
nervozna:
Pa naravno da jeste Maklorenov polinom zaista polinom!Tek sam ovde videla na sta si ti mislio kad potenciras to.Ovde se ne trazi greska tog polinoma kao polinoma,vec greska koja je nastala aproksimacijom tim polinomom!Dakle,u pitanju je greska koju pravi polinom,ali u aproksimaciji bas ove funkcije,ne greska koju on pravi sam po sebi.To je velika razlika,jer onda teorijski ne bi imalo znacaja racunati gresku za svaku funkciju posebno.Pre svega,odmah je jasno da se aproksimacijom pravi greska,ali je greska u sferi tacne i priblizne vrednosti rezultata sinusa nekog broja.Zato na ovom mestu racunamo gresku koju je polinom aproksimacijom napravio,ali u rezultatu sinusa datog broja,pa gresku i racunamo sinusnom funkcijom.Objasnjenje stoji i na mestu je ako se ne osvrnemo na uslove zadatka.Nama zadatak ne daje podatke koji su sigurni,on nam trazi da ih nadjemo.Supremum skupa vrednosti funkcije(bez ikakvih konkretizacija),bas zato sto vazi za svaku tacku domena,a ne opterecuje je bespotrebnim sirenjem(supremum je najmanja majoranta) jeste garancija i neophodnosti i dovoljnosti.Drugi razlog uzimanja supremuma je izbegavanje greske koju bi cos kao funkcija napravio,kad imamo konkretan broj.Zato se i radi o apsolutnoj gresci,u gresci aproksimacije polinomom,koju pravi polinom.


Moja pretpostavka je da je ukupna greška funkcije jednaka zbiru greške polinoma (onaj moj izraz po (x,Dx), koji je, sad tek primećujem, zapravo jednak Dx*cos x; da se ne radi o tome možda?) i ostatka Maklorenovog polinoma (R_n). Čini mi se da je jedina greška koju ti posmatraš greška R_n. Prema tome mi se čini da i nema mnogo uticaja to što se radi o datoj vrednosti 3.14 umesto prave vrednosti pi.

Citat:
Supremum funkcije je definisan na nivou kodomena funkcije,celog,i ako se izricito ne trazi drugacije,to se podrazumeva.Pa je taj supremum uvek isti


Ja sam govorio o restrikcijama funkcije---za sin: [0,pi/8]->R, pretpostavljam da se slažeš da supremum ipak neće biti 1, već da će 1 biti samo jedna od majoranti, a supremum je sin(pi/8). Čak, izbor globalnog supremuma ne bi imao smisla u slučajevima kada se radi o neograničenim funkcijama (npr. Maklorenov polinom za (1+x)^a, pošto bi on predstavljao beskonačnu vrednost, a u datom intervalu od [0,x] bi ipak on bio konačan).

Citat:

Uopste nije bitno da li je taj ostatak specijalan slucaj ovoga ili onoga.Po toj logici,sve definicije koje vaze u realnom prostoru dimenzije 1,ne bi se mogle uzimati kao definicije,jer se sve mogu dokazati na nivou realnog prostora dimenzije n.
Langranzeov oblik ostatka,sam po sebi ,jeste apsolutna greska,ali kao greska funkcije je relativna greska.

Protivio sam se tome da je to tako ,,po definiciji'', i istakao da se to dokazuje u okviru klasične analize (u skupu realnih brojeva). Razlog pominjanja čega je to specijalan slučaj je da onome ko želi to da pronađe, to bude malo lakše; naravno, slažem se da za ovaj problem to nije od značaja.

Ne bih se složio ni sa konstatacijom da se to sve dokazuje u prostorima proizvoljne dimenzije n. Naime, takvi prostori su samo uopštenje klasičnog slučaja za n=1, i oni se isto definišu preko gotovo identičnih pojmova, i to tako da uz odgovarajuću metriku sve definicije u prostoru dim. n, imaju isto značenje sa klasičnim kada se u njima zameni n=1.

Citat:
Pa ne vidim sta je tu problem?I ja kazem da se sinusna funkcija javlja u ostatku i jedino tu.(S napomenom da je to ostatak i da se moze zanemariti,kad nam ne treba za ovakav problem,gde bas trazimo gresku.)Sinusna funkcija se javlja u razvoju tog polinoma,ali je u polinomu nema.Da kazem precizno,jer razvoj polinoma nije isto sto i polinom(mada se u mnogim slucajevima poklapa).


Sada mi nije jasno ni na koji način se dolazi do toga da se ostatak može zanemariti. Takođe, ne vidim kako se možemo vratiti na ,,razvoj polinoma'', kada nam je već dat polinom.

A prema gore rečenom (o supremumima), ne mogu da se složim ni sa time da ćemo zamenom sinusne ili kosinusne funkcije sa 1 dobiti neophodan broj članova---moguće je da se ta greška postiže i sa manjim brojem članova (ako je (ko)sinusna funkcija u tom intervalu ograničena nekom vrednosti manjom od 1).

Zamolio bih te da mi sve što ne razumem pojasniš, kao i da mi daš izraz za grešku koji ti dobijaš (pošto ja imam Dx cos x+R_n; ovaj prvi sabirak zamenjen prema gornjim zaključcima).


ps. Evo sada sam se trudio da imam podređeniji ton, kako se niko ne bi osećao uvređenim mojim načinom iskazivanja onoga što ja zaključujem. Međutim, u mojoj svesti i dalje moji argumenti deluju ubedljivo, pa napominjem da moje znanje možda nije dovoljno za rešavanje ovog problema, ali onda se nadam da ćete me uputiti. Takođe, nadao sam se da ovo nema potrebe isticati (ipak su ovo diskusije).
Ono što mislim da znam, ne moram stvarno da znam. = 0;

if (sendto(socket,

Možda se moje mišljenje promenilo, ali ne i činjenica da sam u pravu.
 
Odgovor na temu

nervozna
sicg

Član broj: 1868
Poruke: 317
*.crnagora.net.

ICQ: 153640035


Profil

icon Re: sin08.06.2002. u 00:06 - pre 220 meseci
Problem sa ovakvim raspravama je taj sto ne idu uzivo. :)
Pa onda ucesnici, objasnjavajuci 'svoje' formule, koriste drugacije terminologije, a uglavnom pricaju o istom. Nije prvi put da se ovako nesto desi.

Posmatram obe greske. Prva greska je ona gde se javlja cos, s tim sto se, po definiciji (ne znam koliko je ona tebi poznata) javlja Ipi-pi*I pomnozeno sa supIcosxI (zato je ta priblizna vrednost broja pi relevantna).

Pazi,tvoje izlaganje za supremum je na mestu, ali mislim da nisi obratio paznju na sledece (ili je problem definicija). Naime, trazi se supremum za svako x iz odlasti definisanosti funkcije. Zadatak ne daje informacije o drugacijem domenu,pa i kodomenu, tj. nema pomena o restrikaciji. Inace bi bilo jasno naznaceno. Dakle, ovde imamo opsti slucaj, dok je pi samo jedna tacka domena, konkretizacija problema. Stoga uzimamo da je supremum jedinica.


Naravno da je Euklidski prostor dimenzije n nastao uopstavanjem i da se zamenom za slucaj n=1 dobija sve sto i tamo vazi. Uzela sam to kao cisto logicko poredjenje, jer u zatvorenom sistemu samog prostora uopsteni slucaj daje konkretan. Medjutim, kad se njegovi rezultati primenjuju negde drugde, sasvim se lepo mogu uzeti za definiciju. Verovatno je relativna greska za ovaj zadatak istim principom postala definicija, a sigurno je da je neki matematicar -- teoreticar postavio tu gde jeste, a ne ja.


Kad sam rekla da se ostatak moze zanemariti, rekla sam da to mozemo da uradimo kad nam ne treba njegova greska kao sad. Znaci, u nekom zadatku, gde ostatak ne menja rezultat ili na njega ne utice, slobodno mozemo da posmatramo samo polinom.

Kako je broj clanova prirodan broj, rezultat ce biti podesen tome. Sve majorante manje od jedinice stepenovanjem teze nuli, pa ce u izrazu za gresku smanjivati rastojanje od jedinice do nule, a obzirom da trazimo prirodan broj kao resenje, ni te promene nece uticati na radikalnu izmenu prirodnog broja. Recimo, rezultat je 2,3648695708... ; stavljanjem manje majorante samo cemo se priblizavati broju 2, ali nikad necemo dospeti ispod 2. Najveca mogucnost da dospemo ispod broja 2 jeste bas majoranta 1, pa je i koristimo. Za vece majorante ne dobijamo sigurno najmanji broj clanova.

sinx= ... + R_n je razvoj polinoma (desna strana), a polinom je samo ovo sto sam sad oznacila sa tri tacke.

Ostalo sam ti rekla mailom.

poz
beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi
 
Odgovor na temu

tOwk
Danilo Šegan
Zemun/Beograd

Član broj: 94
Poruke: 2743
*.bitsyu.net

ICQ: 9344053
Sajt: alas.matf.bg.ac.yu/~mm011..


+2 Profil

icon Re: sin09.06.2002. u 01:41 - pre 220 meseci
Citat:
nervozna:
Posmatram obe greske. Prva greska je ona gde se javlja cos, s tim sto se, po definiciji (ne znam koliko je ona tebi poznata) javlja Ipi-pi*I pomnozeno sa supIcosxI (zato je ta priblizna vrednost broja pi relevantna).

Da, definicija ima smisla, pošto sam to i ja u prethodnoj poruci pomenuo kao



Međutim, one prethodna neslaganja su nastala iz razloga što ja tu nisam koristio definiciju, nego sam to izvodio po osnovnim tvrđenjima numeričke matematike, i onda sam dobio zbir , gde oba člana zavise od broja članova. Ovaj drugi član je zapravo Maklorenov polinom za kosinusnu funkciju pomnožen sa , i zbog toga je moguće ili na taj način definisati grešku, ili je smatrati ograničenom sa . Znači, moj način je bio prilično komplikovaniji, ali bi doveo do istog (ili boljeg, zato što ne uzimam 1, već vrednost bližu pravoj vrednosti cos x) rezultata.

Prema tome, izgleda da nikakvih neslaganja nije ni bilo (divni naš srpski jezik sa brojnim negacijama).



Citat:
Pazi,tvoje izlaganje za supremum je na mestu, ali mislim da nisi obratio paznju na sledece (ili je problem definicija). Naime, trazi se supremum za svako x iz odlasti definisanosti funkcije. Zadatak ne daje informacije o drugacijem domenu,pa i kodomenu, tj. nema pomena o restrikaciji. Inace bi bilo jasno naznaceno. Dakle, ovde imamo opsti slucaj, dok je pi samo jedna tacka domena, konkretizacija problema. Stoga uzimamo da je supremum jedinica.

Maklorenov polinom (po formulaciji) u svakom slučaju sadrži samo restrikcije funkcija. Naime, po formulaciji je ostatak tačno jednak izrazu za R_n(k), za neko k iz [0,x]. Kada uzmemo supremum svih vrednosti u skupu [0,x], tada znamo da je R_n manje ili jednako toj vrednosti. Sa ograničenim funkcijama je situacija lakša, zbog same njihove ograničenosti, i takvo obrazloženje je onda prihvatljivo. Čini mi se samo da sam ja onda preterao sa uopštavanjima.

Citat:

Kako je broj clanova prirodan broj, rezultat ce biti podesen tome. Sve majorante manje od jedinice stepenovanjem teze nuli, pa ce u izrazu za gresku smanjivati rastojanje od jedinice do nule, a obzirom da trazimo prirodan broj kao resenje, ni te promene nece uticati na radikalnu izmenu prirodnog broja. Recimo, rezultat je 2,3648695708... ; stavljanjem manje majorante samo cemo se priblizavati broju 2, ali nikad necemo dospeti ispod 2. Najveca mogucnost da dospemo ispod broja 2 jeste bas majoranta 1, pa je i koristimo. Za vece majorante ne dobijamo sigurno najmanji broj clanova.


Da li je zaista ovako, moraću da proverim uz izradu zadatka do kraja na moj komplikovaniji način, na jednostavniji uz više ,,zaokrugljivanja'', i numerički uz pomoć računara (neću valjda da dokazujem u opštem slučaju? :). Ukoliko se zaista dobije u svakom slučaju isti broj članova za datu grešku, onda ću to razmotriti u opštijem slučaju (već sam rekao da to nisam detaljno izučavao).

Toliko

P.S. Koliko nam treba ubacivanje matematičkih izraza na ovom forumu se moglo videti i ovde.
dva i pravi nešto brži kod.
Možda se moje mišljenje promenilo, ali ne i činjenica da sam u pravu.
 
Odgovor na temu

nervozna
sicg

Član broj: 1868
Poruke: 317
*.cg.yu

ICQ: 153640035


Profil

icon Re: sin09.06.2002. u 03:50 - pre 220 meseci

Ha, ha, jedva sam uspela da razaznam šta si napisao u prvom delu poruke! Avaj, baš mi je značilo poznavanje matematičkih pojmova u tu svrhu. Moraš priznati da je toliko nerazumljivo da je prosto smešno.

Već sam napisala da se verovatno terminološki razlikujemo. Bilo je i nekih grešaka sa tvoje strane, koje su, opet, uzrokovane tom terminologijom,ali nisu toliko značajne da bih sad oko njih počinjala novu raspravu.

Pa jesi preterao uopštavanjem -- tu ti moram zameriti mali nedostatak matematičke osetljivosti, ali, sa druge strane mi se ista stvar i sviđa. Malo kreativnosti nije na odmet.

Interesantno -- provera rezultata računarom! Nemoj zaboraviti da ovde kažeš tako dobijeno rešenje.

Inače, ovaj zadatak je izazovan za razmišljanje, stoga sam ga i postovala na ovom forumu. A očigledan dokaz tome je ova tvoja i moja rasprava. Ljudi često, po inerciji, pogrese u postavci -- nekako previde grešku koja nastaje aproksimacijom. Ovako sad to ne deluje kao nešto što se ne može odmah uočiti, možda zbog ovako detaljne analize.

Nadam se da ćeš se složiti sa mnom da baš ovakav zadatak prelepo reprezentuje moć koju ima matematika.

Pozdravljam te, sa jednom molbicom -- nemoj na kraju svakog posta pisati 'Toliko', zvuči kao da ne znaš više šta da kažeš. I kruto je suviše. :)
ko ye do nekog pada sistema
beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi
 
Odgovor na temu

tOwk
Danilo Šegan
Zemun/Beograd

Član broj: 94
Poruke: 2743
*.bitsyu.net

ICQ: 9344053
Sajt: alas.matf.bg.ac.yu/~mm011..


+2 Profil

icon Re: sin10.06.2002. u 01:15 - pre 220 meseci
Prethodno sam pogrešio u oznaci greške promenljive x, naime Dx=|pi-pi*|/8 (zato što se radi o pi/8, a ne o samom pi). Tražimo |R_n|<eps-Dx (pozitivan broj da bude manji od negativnog).

Da rešenja zaista ima, možemo dobiti jednostavnim programom koji nam daje rezultate za x=pi/8 i x*=3.14/8:
Code:

sin x = 0.3826834261

n=1     f_n(x*)=0.3925000131     e=0.0098165870
n=2     f_n(x*)=0.3824221790     e=0.0002612472

Dovoljno je da je n=2


Međutim, što se tiče zamene cos x sa 1, ona u ovom slučaju daje dobar rezultat zato što je cos x i sam blizu 1 (oko 0,92...). Međutim, kada je vrednost cos x manja, može se dobiti broj članova koji je veći od neophodnog.

Tako, za x=pi/3.2 i x*=3.14/3.2, pomoću programa (ili upotrebom prvih nekoliko članova razvoja cos x---način koji sam ja sugerisao prethodno), dobijamo da se tražena greška ostvaruje u 3 koraka.
Code:
sin x = 0.8314696123

n=1     f_n(x*)=0.9812500000     e=0.1497803877
n=2     f_n(x*)=0.8237836507     e=0.0076859616
n=3     f_n(x*)=0.8313644867     e=0.0001051256

Dovoljno je da je n=3


Međutim, ukoliko se koristi zamena cos x=1, onda će se dobiti da je traženi broj članova 5.

Naravno, ovde vrednost t=3.2 nije slučajno izabrana: ona je izabrana tako da greška Dx=|pi-pi*|/t bude što bliža dozvoljenoj grešci eps (ovde ona izađe 0,000498...), pa je potreban sve veći broj članova da bi |R_n|<eps-Dx=0,000002 (približno naravno). Kada se koristi nekoliko prvih članova iz Maklorenovog polinoma za kosinusnu funkciju, dobije se da je cos x reda 0.5, što kada se pomnoži sa Dx, daje da treba da bude |R_n|<0,0002 (ovo je sve napamet izračunato, pa je dosta neprecizno, ali ilustruje red veličina sa kojima se radi).

Prema tome je i jasno da zaista ovakav izraz ne daje u opštem slučaju baš najmanji broj članova, ali u ovom slučaju se to poklopilo sa pravim rešenjem (najverovatnije je to tako izabrao onaj ko god da je postavljao zadatak; ali da li priznati takvo rešenje kao dokazano da ne može manje članova da da zadovoljavajuću grešku je pitanje na koje tek treba odgovoriti).


Kako je za negaciju tvrđenja dovoljno dati jedan kontraprimer, mislim da sam opovrgao tvrdnju da se ovim postupkom uvek dobija najmanji neophodan broj članova za izračunavanje vrednosti funkcije sa datom greškom.

Toliko (za sada).

P.S. Ovo ,,Toliko'' baš treba da ima značenje ,,Toliko za sada''---treba da sugeriše da bih mogao o ovome da pričam i pričam, ali da sam svesno odlučio o tome više da ne pričam. Značenje mu nije ,,To je sve što imam''. Nadam se da ti neće stvarati problem da to tako tretiraš :)iti moguce svakom da u njima pi
Možda se moje mišljenje promenilo, ali ne i činjenica da sam u pravu.
 
Odgovor na temu

nervozna
sicg

Član broj: 1868
Poruke: 317
195.66.185.*

ICQ: 153640035


Profil

icon Re: sin10.06.2002. u 02:26 - pre 220 meseci
Da skratim svako drugo objašnjenje -- na intervalu (0,pi) cos opada, pa je supremum na tom intervalu u tački 0, taj supremum je 1. To važi za bilo koji podinterval (0,x), gde je x<=pi.
poz
beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi
 
Odgovor na temu

tOwk
Danilo Šegan
Zemun/Beograd

Član broj: 94
Poruke: 2743
*.yubc.net

ICQ: 9344053
Sajt: alas.matf.bg.ac.yu/~mm011..


+2 Profil

icon Re: sin12.06.2002. u 18:57 - pre 220 meseci
Supremum uzimamo samo kao garanciju u slučajevima kada ne umemo da procenimo pravu vrednost---a u ovakvim slučajevima, razloge zašto ponekad ne treba uzimati supremum objasnio sam u prethodnoj poruci.

Podsećam da je greška tog dela Dx cos x, a kako x imamo dato, lako možemo proceniti koja je ova vrednost (znači ne treba da koristimo supremum, što i povećava grešku, kako sam već naveo).

Na ovu temu više neću pisati (osim u naročitim slučajevima---ukoliko ponudiš neke osnovane argumente) pošto je očigledno da do slaganja neće moći doći, a neko od nas ne raspolaže dovoljnim znanjem da razume argumente drugog (bez pokušaja da utvrdim ko od nas dvoje je taj).


Toliko.
Možda se moje mišljenje promenilo, ali ne i činjenica da sam u pravu.
 
Odgovor na temu

nervozna
sicg

Član broj: 1868
Poruke: 317
*.podgorica.cg.yu

ICQ: 153640035


Profil

icon Re: sin13.06.2002. u 09:35 - pre 220 meseci
Nakon detaljne analize cele rasprave moj komentar je sledeći --

Ne slažem se da je u pitanju neznanje, već najobičniji nesporazum. Što mi je postalo očigledno tek nakon tvog poslednjeg posta (mislim na post poslednji u nizu o postupku koji koristiš), u kom kažeš da si tražio najmanji broj članova. Ako je moja greška što ranije nisam videla da tražiš baš najmanji broj, onda se izvinjavam.

Naime, negde na početku cele priče složili smo se, koliko mi se čini, da tražimo apsolutnu grešku. Ona uključuje i predstavlja najveću moguću grešku, što podrazumeva supremum funkcije koja se javlja u izvodu (kosinus). Definicija apsolutne greške traži supremum.Preciznije -- njeno gornje ograničenje. Sve što si ti izvodio u tom pravcu tumačila sam kao tvoju grešku, jer se kosilo sa definicijom i njenim značenjem. Ti si, u stvari, tražio najmanji broj članova, što uključuje približnu apsolutnu grešku. Do rezultata si došao 'peške', istog do kog sam ja došla radeći zadatak za najmanji broj članova, po formuli za približnu vrednost. Nakon što sam pročitala tvoj poslednji post.
Znači, najmanji broj članova isključuje najveću moguću apsolutnu grešku. Kako sam ja tražila samo gornje ograničenje broja (jer mi zadatak nije tražio približan broj), a ti samo najmanji broj, sad je sasvim logično da nam se rezultati nisu bili poklopili.

Zbog pomenute apsolutne greške i njenog ograničenja, mislila sam da računaš po njoj i to tako što proizvoljno menjaš definiciju, pa sam se usprotivila postupku. Jer sam pre toga rekla da stepenovanje neće uticati na broj članova, misleći na sinusnu funkciju u R_n, dok si ti svo vreme pričao o kosinusnoj. Ni tu nismo razumeli ko o kojoj funkciji priča.

Pomenula sam supremum kao garanciju u odnosu na garancije koje pruža bilo koja druga majoranta, ne u kontekstu ovog zadatka. Ti si to shvatio u kontekstu ovog zadataka.

Supremum uzimamo onda kad tražimo navjeću moguću grešku, a kad tražimo najmanju moguću grešku, onda uzimamo vrednost izvodne funkcije u datoj tački.

Valjda više neće biti nasporazuma.

poz


root 94 May 31 04:
beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: sin

[ Pregleda: 5062 | Odgovora: 18 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.