Neka je , gde i nisu inverzibilni i neka je , gde je .
Tada je . Dakle, za važi , pa je .
Međutim, kvadrat celog broja može po modulu 4 biti kongruentan ili sa 0 (ako je paran) ili 1 ako je neparan, tako da zbir dva kvadrata ne može biti kongruentan sa 3 po modulu 4.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
3. 1)
Na osnovu postavljenog uslova i po definiciji prostih brojeva α je različito od 0.
Pretpostavimo suprotno da je alfa rastavljiv u Z.
Neka je α = ß*δ takvi da ß nije elemet {-1,1,-i,i} i δ nije elemet {-1,1,-i,i}, tj. nemaju norme == 1.
Po uslovu zadatka N(α) je prost broj u skupu celih brojeva i vazi 1 < p = N(α) takav da je p deljiv samo sa 1 i p.
Na osnovu dokazanog 1.1) sledi
N(α) = N(ß) * N(δ)
p = N(ß) * N(δ)
pa mora biti {p = N(ß), N(δ) = 1} ili {1 = N(ß), N(δ) = p}.
Iz toga sledi da je δ element {-1,1,-i,i} ili je ß element {-1,1,-i,i} što je kontradikcija polaznoj (suprotnoj) pretpostavci.
Dakle: ako je N(α) prost u Z, tada je α nerastavljiv u Z.
Samo tri zadatka
Registrovani: 3 ( whitie2004, LZpetYT, krgo )
