1.DOKAZATI DA BROJ 2^2+4^4 +6^6+....+50^50 MOZE BITI KVADRAT CIJELOG BROJA.
pomoč oko zadatka sa takmičenja
Zaključano
Zakačeno
Čudna formulacija. Konkretan broj nema šta da može ili da ne može da bude potpun kvadrat, već ili to jeste ili to nije.
Izračunaj mu ostatke pri delenju sa 5 i 25, pa kada utvrdiš da je deljiv sa 5, ali ne i sa 25, onda to svakako znači da nije potpun kvadrat.
U stvari, dovoljno je i samo sa 25.
Izračunaj mu ostatke pri delenju sa 5 i 25, pa kada utvrdiš da je deljiv sa 5, ali ne i sa 25, onda to svakako znači da nije potpun kvadrat.
U stvari, dovoljno je i samo sa 25.
Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
hvala Nedeljko na pomoci
moze li mi neko detaljnije raspisat rjesenje
1.DOKAZATI DA LI BROJ 2^2+4^4 +6^6+....+50^50 MOZE BITI KVADRAT CIJELOG BROJA.
(ako zadatak glasi ovako nekako ja ću dati upute kako dokazati da ne može!)
Napišimo ovaj zbir kao zbir kvadrata 2^2+(4^2)^2+..........+(50^25)^2
Najprije osnovna ideja:(LIči mi kao da zbir svih prethodnih kvadrata nisu dovoljni da onom poslednjom uvećaju stranicu za 1.)
Za koji broj a vrijedi
.Znamo da je 
.
Dalje možemo probati za
pa nam je tu 
.Dakle postoji neki najmanji broj a za svako k<a tako da vrijedi:
Sad bi trebalo lijepo matematičkim jezikom krenuti malo sa početka zbira,zatim nešto poopšteno pa onda na kraju provjeriti:
(izgleda da nije, jer kad se malo sredi imamo 4.5*10^40<5.9*10^42 pa ispade da suma svih prethodnih kvadrata nije dovoljna da zadnjem poveća stranicu za 1.)
(ako zadatak glasi ovako nekako ja ću dati upute kako dokazati da ne može!)
Napišimo ovaj zbir kao zbir kvadrata 2^2+(4^2)^2+..........+(50^25)^2
Najprije osnovna ideja:(LIči mi kao da zbir svih prethodnih kvadrata nisu dovoljni da onom poslednjom uvećaju stranicu za 1.)
Za koji broj a vrijedi
.Znamo da je . Dalje možemo probati za
pa nam je tu .Dakle postoji neki najmanji broj a za svako k<a tako da vrijedi:Sad bi trebalo lijepo matematičkim jezikom krenuti malo sa početka zbira,zatim nešto poopšteno pa onda na kraju provjeriti:
(izgleda da nije, jer kad se malo sredi imamo 4.5*10^40<5.9*10^42 pa ispade da suma svih prethodnih kvadrata nije dovoljna da zadnjem poveća stranicu za 1.)
Potpis
________________________________
Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500
OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]
Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500
OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]
1Sviđa mi se :thumbsup: 1
Za rešenje postavljenog zadatka treba samo pokazati da poslednja cifta datog zbira nije iz skupa {2,3,7,8}. A to nije teško.
Pa, šta s tim? Broj 10 se ne završava cifrom iz tog skupa, pa nije potpun kvadrat.
Broj iz zadatka ima poslednje dve cifre 80, a to kod potpnih kvadrata nije moguće.
Broj iz zadatka ima poslednje dve cifre 80, a to kod potpnih kvadrata nije moguće.
Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Zadatak je da se pokaže da "može". Ako je poslednja cifra jedna iz skupa {2,3,7,8} onda sigurno ne može. Dakle, ako poslednja cifra nije iz skupa {2,3,7,8} onda još uvek "može". Naravno, "može" ne znači mora.
Samo nam još reci kako si došao do toga da su poslednje dve cifre 80?
Samo nam još reci kako si došao do toga da su poslednje dve cifre 80?
Ovaj broj nije potpun kvadrat, tako da tu nema šta da "može" ili "mora". Tačno određen ceo broj ili jeste ili nije potpun kvadrat. To je isto kao da si rekao da broj 7 može biti potpun kvadrat jer je ceo Postavka onako kako je napisana nema smisla. Smislene formulacije su:
1. Dokazati da broj nije potpun kvadrat.
2. Ispitati da li je broj potpun kvadrat kvadrat.
1. Dokazati da broj nije potpun kvadrat.
2. Ispitati da li je broj potpun kvadrat kvadrat.
Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Treba odrediti ostatak pri delenju sa 25.
,
,
,
,
.
Na analogan način se zaključuje i za ostale brojeve deljive sa 10.
,
,
.
Ovo poslednje na osnovu Ojlerove teoreme o totijent funkciji.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Kada se sve sabere, dobija se
.
Dakle, ostatak pri delenju broja brojem 25 je 5, odnosno on je deljiv sa 5, ali ne i sa 25, pa pošto je 5 prost broj, dati broj nije potpun kvadrat.
,,,,.Na analogan način se zaključuje i za ostale brojeve deljive sa 10.
,,.Ovo poslednje na osnovu Ojlerove teoreme o totijent funkciji.
,,,,,,,,,,,,,,,,.Kada se sve sabere, dobija se
.Dakle, ostatak pri delenju broja brojem 25 je 5, odnosno on je deljiv sa 5, ali ne i sa 25, pa pošto je 5 prost broj, dati broj nije potpun kvadrat.
Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Nemoj meni prebacivati što je zadatak tako formulisan.
Nisi nam odgovorio kako si došao do toga da su poslednje dve cifre 80. Ili si od toga odustao?
Nisi nam odgovorio kako si došao do toga da su poslednje dve cifre 80. Ili si od toga odustao?
@hotchimeny
Ti dokaži da ta suma nije jednaka 8882284929761913007469090601976810669675162425501147919227679010905925926980109523780 ili odustani.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%282k%29^%282k%29+k%3D1+to+25
Hint: kao što je Nedeljko pokazao da je gornja suma po modulu 25 jednaka 5, ti možeš da dokažeš da je po modulu 100 jednaka 80...
Ti dokaži da ta suma nije jednaka 8882284929761913007469090601976810669675162425501147919227679010905925926980109523780 ili odustani.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%282k%29^%282k%29+k%3D1+to+25
Hint: kao što je Nedeljko pokazao da je gornja suma po modulu 25 jednaka 5, ti možeš da dokažeš da je po modulu 100 jednaka 80...
A šta, studenti mogu da koriste wolfram na ispitu?
No dobro, posledjna je cifra 0 --> ta suma može (ali nije mora) biti kvadrat nekog broja koji se završava nulom. To može (poslednja cifra) da se odredi pomoću ostataka pri delenju i tu je kraj zadatka.
U istom smislu evo sledeći zadatak:
2^2 + 4^4^4^4 + 6^6^6^6^6^6 + 8^8^8^8^8^8^8^8 + ... + 50^50^ ... ^50
Šta kaže wolfram?
No dobro, posledjna je cifra 0 --> ta suma može (ali nije mora) biti kvadrat nekog broja koji se završava nulom. To može (poslednja cifra) da se odredi pomoću ostataka pri delenju i tu je kraj zadatka.
U istom smislu evo sledeći zadatak:
2^2 + 4^4^4^4 + 6^6^6^6^6^6 + 8^8^8^8^8^8^8^8 + ... + 50^50^ ... ^50
Šta kaže wolfram?
Pa hajde, dokle će wolfram da računa?
Pa bolje ćuti, jer sam ti dokazao da je Nedeljko u pravu. U poređenju sa njim, ti si pacer, jer je on video tri poteza ispred tebe.
Evo kako se dokazuje:
Da bi neki broj n bio potpuni kvadrat, mora biti
gde su 
prosti brojevi (ne obavezno različiti). Broj u zadatku je očigledno deljiv sa 
, pa da bi se dokazalo da nije potpun kvadrat, mora postojati prost broj p>2 takav da je n deljiv sa p ali ne i sa 
. Prvi takav prost broj je 5 (jer je n deljiv sa 2 bar dva puta, a sa tri nije deljiv).
Evo kako se dokazuje:
Da bi neki broj n bio potpuni kvadrat, mora biti
gde su prosti brojevi (ne obavezno različiti). Broj u zadatku je očigledno deljiv sa , pa da bi se dokazalo da nije potpun kvadrat, mora postojati prost broj p>2 takav da je n deljiv sa p ali ne i sa . Prvi takav prost broj je 5 (jer je n deljiv sa 2 bar dva puta, a sa tri nije deljiv).
Ja sam pacer. Ali to što ste se vi mučuli sa wolfram ja sam izračunao napamet bez olovke i papira.
Pozdrav.
Pozdrav.
Citat:
hotchimney: Nemoj meni prebacivati što je zadatak tako formulisan.
Nisi nam odgovorio kako si došao do toga da su poslednje dve cifre 80. Ili si od toga odustao?
Nisi nam odgovorio kako si došao do toga da su poslednje dve cifre 80. Ili si od toga odustao?
Ako je zadatak tako formulisan, onda nije dobro formulisan.
Svi sabirci su deljivi sa 4, pa je samim tim i zbir takav. Obzirom da je broj deljiv sa 4, a pri delenju sa 25 daje ostatak 5, onda mu je ostatak pri delenju sa 100 jednak 80.
Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Citat:
hotchimney: Ja sam pacer. Ali to što ste se vi mučuli sa wolfram ja sam izračunao napamet bez olovke i papira.
Pozdrav.
Pozdrav.
Šta si izračunao?
Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Evo, još jednom sam pročitao zadatak.
Mogu samo da konstatujem:
"Piši kao što govoriš. Čitaj kako je napisano".
Mogu samo da konstatujem:
"Piši kao što govoriš. Čitaj kako je napisano".
Čitanje nije račun.
Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Tema je zaključana, nove poruke nisu moguće.