potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima

potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 15.09.2011. u 16:45 · pre 183 meseci #1

Zdravo.
Treba mi dokaz nejednakosti
$(1+a^4)(1+b^4)(1+c^4)(1+d^4)>=(1+abcd)^4$

a,b,c,d su pozitivni realni brojevi.

Ja sam se mučio i vrteo nešto pomoću nejednakosti brojevnih sredina (aritmetička, geometrijska, kvadratna...) ali to nije dalo rezultata. Molio bih za pomoć ili neku ideju.

Hvala unapred.

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 15.09.2011. u 18:38 · pre 183 meseci #2

Logaritmovanjem dobijamo da je nejednakost ekvivalentna nejednakosti

$\frac{\ln(1+a^4)+\ln(1+b^4)+\ln(1+c^4)+\ln(1+d^4)}4\geq\ln(1+abcd)$ .

Iz konkavnosti loogaritma sledi da je

$\frac{\ln(1+a^4)+\ln(1+b^4)+\ln(1+c^4)+\ln(1+d^4)}4\geq\ln\left(1+\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}4\right)$ .

Ostalo je da se dokaže da je

$\ln\left(1+\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}4\right)\geq\ln(1+abcd)$ ,

odnosno

$\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}4\right)\geq abcd$ ,

a ovo je posledica nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 15.09.2011. u 19:25 · pre 183 meseci #3

hvala na uloženom trudu i vremenu.
nije mi jasan jedan korak u dokazu
$\frac{\ln(1+a^4)+\ln(1+b^4)+\ln(1+c^4)+\ln(1+d^4)}4\geq\ln\left(1+\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}4\right)$
kako smo to zaključili?

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 15.09.2011. u 19:34 · pre 183 meseci #4

Za nejednakost $\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}4\right)\geq abcd$ ,imas $x_1=a^4,x_2= b^4,x_3=c^4,x_4=d^4$ ,pa se nejednakost svodi na $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4} \ge \sqrt [4] {x_1x_2x_3x_4}$ :Zbog $\sum_{i=1}^4 \lambda_i=1$ ,
vazi $x_1^{\lambda_1} \cdots x_4^{\lambda_4} \le \lambda_1 x_1 \cdots \lambda_4 x_4$ ,sad primjeni Jensenovu nejednakost: $f \left ( \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \right) \le \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)$ na $f(x)=e^x$ i brojeve $\ln x_1 ,\cdots , \ln x_4$ ,i dobijas: $\prod_{i=1}^4 x_i^{\lambda_i}=e^{\sum_{i=1}^4 \lambda_i \ln x_i} \le \sum_{i=1}^4 \lambda_i e^{\ln x_i}=\sum_{i=1}^4 \lambda_i x_i$

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 15.09.2011. u 19:40 · pre 183 meseci #5

Taj deo sam shvatio. Nije mi jasan samo ovaj red:

Citat:

Nedeljko:

Iz konkavnosti loogaritma sledi da je

$\frac{\ln(1+a^4)+\ln(1+b^4)+\ln(1+c^4)+\ln(1+d^4)}4\geq\ln\left(1+\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}4\right)$ .

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 15.09.2011. u 21:37 · pre 183 meseci #6

$x_1=1+a^4$ , $x_2=1+b^4$ , $x_3=1+c^4$ , $x_4=1+d^4$ , $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=1/4$ .

Obzirom da je $\lambda_1,\dots,\lambda_4\geq 0$ i $\lambda_1+\cdots+\lambda_4=1$ sledi

$\ln(\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_4x_4)\geq\lambda_1\ln(x_1)+\cdots+\lambda_4\ln(x_4)$ ,

odnosno važi obrnut znak nejednakosti od onoga koji sam napisao, pa mi dokaz nije dobar. Pozabaviću se ovim malo kasnije.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 15.09.2011. u 21:45 · pre 183 meseci #7

Nejednakost $(1+a^2)(1+b^2)\geq(1+ab)^2$ je posle sređivanja ekvivalentna nejednakosti $a^2+b^2-2ab\geq 0$ , odnosno $(a-b)^2\geq 0$ koja je tačna. Primenimo dokazanu nejednakost.

$(1+a^4)(1+b^4)(1+c^4)(1+d^4)\geq((1+(ab)^2)(1+(cd)^2))^2\geq(1+abcd)^4$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 16.09.2011. u 09:08 · pre 183 meseci #8

hvala.
opet ne razumem odakle
$((1+(ab)^2)(1+(cd)^2))^2$

Zar nije
$(1+ab)^2(1+cd)^2)$ ?

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 16.09.2011. u 09:11 · pre 183 meseci #9

$(1+x^2)(1+y^2)\geq(1+xy)^2$ .

Zameni $x$ sa $a^2$ i $y$ sa $b^2$ .

$(1+a^4)(1+b^4)\geq(1+(ab)^2)^2$ .

Je li sada jasnije?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 16.09.2011. u 11:37 · pre 183 meseci #10

sada je jasno.
hvala na uloženom vremenu i trudu

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 16.09.2011. u 17:00 · pre 183 meseci #11

Evo još jednog dokaza.

Funkcija $f(x)=\ln(1+e^x)$ je konveksna, što se lako zaključuje iz pozitivnosi njenog drugog izvoda. Stoga je

$f(\lambda_1x_1+\cdots\lambda_nx_n)\leq\lambda_1 f(x_1)+\cdots+\lambda_n f(x_n)$ za ma koje $x_1,\dots,x_n\in R$ i $\lambda_1,\dots\lambda_n\geq 0$ takve da je $\lambda_1+\cdots+\lambda_n=1$ .

Neka su $a_1,\dots,a_n>0$ , $\lambda_i=\frac 1n$ i $x_i=n\ln(a_i)$ . Jensenova nejednakost nam daje

$\ln(1+a_1\cdots a_n)\geq\frac{\ln(1+a_1^n)}{n}+\cdots+\frac{\ln(1+a_n^n)}{n}$ , što je posle sređivanja tačno ono što treba.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 16.09.2011. u 19:55 · pre 183 meseci #12

ovo mi već deluje komplikovano za ispit pod nazivom "Elementarna matematika", iz koga je zadatak ;-)

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 25.09.2011. u 16:07 · pre 183 meseci #13

treba mi sad pomoć oko nove nejednakosti:

zadatak.jpg17.65k

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 13.11.2011. u 13:44 · pre 181 meseci #14

Dokazati da za prirodne brojeve a,b,c važi
$3a^ab^bc^c \leq (a+b+c)^{(a+b+c)}$

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 13.11.2011. u 16:25 · pre 181 meseci #15

Imas nesto slicno ovde: http://aam.org.in/st_material/14.pdf , strana 27.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 13.11.2011. u 18:52 · pre 181 meseci #16

hvala ali ne umem da iskoristim :(

btw profesor stalno daje nove i nove zadatke, ne znam odakle ih više vadi. i iz roka u rok niko ne polaže :(

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 13.11.2011. u 20:26 · pre 181 meseci #17

Mozda bi bilo bolje prvo dokazati opstije tvrdjenje, $n \prod_{k=1}^n x_k^{x_k} \le \left (\sum_{k=1}^n x_k \right)^{\sum_{k=1}^n x_k}$ .

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 14.11.2011. u 15:29 · pre 181 meseci #18

Citat:

darence:btw profesor stalno daje nove i nove zadatke, ne znam odakle ih više vadi. i iz roka u rok niko ne polaže :(

U tom slučaju se pod hitno žalite dekanu. Koji je fakultet i koji profesor u pitanju?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 14.11.2011. u 17:49 · pre 181 meseci #19

Žalba dekanu bi imala smisla samo ako je situacija stvarno takva da niko ne može položiti ispit. Ali ozbiljno sumnjam u to.

Analizirajmo donju rečenicu malo podrobnije.

Citat:

darence:
btw profesor stalno daje nove i nove zadatke, ne znam odakle ih više vadi. i iz roka u rok niko ne polaže :(

1) „Profesor stalno daje nove i nove zadatke.“ U čemu je smisao ove izjave? Šta, ako bi profesor ponavljao iste zadatke iznova i iznova, onda bi ih studenti lako naštrebali napamet i položili ispit? A ovako, sram bilo profesora, očekuje da studenti sami reše zadatke, a ne da ispisuju rešenja koja su naučili napamet bez trunke razumevanja, baš sramota.

2) „Ne znam odakle ih više vadi.“ Izjava sličnog tipa poput gornje. U čemu je problem? Studenti imaju neku zbirku ili dve, već su naštrebali rešenja zadataka iz tih zbirki (ili će poneti zbirke sa sobom u pogodno umanjenom formatu, zašto da ne), i zamisli, zao profesor ih maltretira tako što „vadi“ zadatke ko zna odakle! A još jednu stvar vredi pomenuti ovde: mentalitet studenata koji smatraju da su svi mogući zadaci sabrani u dve-tri zbirke, i čudom se iščuđavaju što profesor svaki put ko zna otkuda „izvadi“ zadatak kog nema u njihovim zbirkama. Dakle, je li student s ovakvim načinom razmišljanja stvarno razumeo makar M od matematike? (Još nešto o ovoj temi pri kraju poruke.)

3) „Iz roka u rok niko ne polaže.“ Upečatljivo je to što je ova izjava tek na trećem mestu u rečenici. Dakle, glavni problemi su to što profesor „stalno daje nove i nove zadatke“ (!), što se studenti čudom iščuđavaju „odakle ih više vadi“ (!!) — a tek nakon svega toga saznajemo da, eto, još povrh svega, iz roka u rok niko ne polaže ispit! Prosto se ne mogu oteti utisku da je ova poslednja izjava dodata tek da doprinese upečatljivosti sveopšte slike o zlom profesoru, bez neke veze s realnošću.

Darence, da ti direktno kažem. Ako je čak i stvarno tačno da iz roka u rok niko ne polaže ispit, to svakako jeste problem — ali ne tvoj problem, već problem onih studenata koji jesu zaslužili da polože. Ti si, komentarima koje sam gore analizirao, upečatljivo demonstrirao da tvoje poimanje matematike nije ni blizu nivoa potrebnog da položiš ispit. Najpre moraš drastično izmeniti neke stvari u svom pristupu, pa tek onda možemo ozbiljno pričati o tome postoje li kod dotičnog profesora realni problemi s prolaznošću.

Najavio sam maločas jednu anegdotu iz ličnog iskustva u vezi s komentarom 2). Bukvalno na svom prvom času koji sam držao studentima, objašnjavam im koncept predmeta (u pitanju su bili osnovi geometrije 2 — tj., euklidska i hiperbolična geometrija, a nije ni bitno o kom predmetu je reč), i kažem tom prilikom ovakvu rečenicu: „Puškice su na kolokvijumima dozvoljene. U puškice spadaju sveske, knjige, bilo kakav štampani/pisani/kopirani itd. materijal.“ (Poenta ovoga je, mislim da sam već jednom i objašnjavao na forumu, da od studenata očekujem prikaz razumevanja gradiva, a ne šta su oni naučili napamet.) Kažem: „Ima li pitanja?“, i diže se jedna ruka iz poslednje klupe.
Ja: „Izvolite?“
Studentkinja: „A može li i zbirka?“
Ja: „Zbirka spada u štampani materijal — dakle, može.“
Ona: „A znate li vi da u zbirci ima mnogo rešenih zadataka?“
Ja: „Dobro, koliko zadataka ima u zbirci?“
Ona: „Hiljadu sedamsto sedamdeset sedam“ (kao iz topa!).
Ja: „I vi mislite da za dva sata, koliko traje kolokvijum, možete pregledati hiljadu sedamsto sedamdeset sedam zadataka iz zbirke, tražeći među njima onaj s kolokvijuma, a koji najverovatnije nije tamo?“
Ona: „Aha — znači doći će oni zadaci koji su ostavljeni nerešeni u zbirci?“
O tome pričam. Za mnoge studente ne postoji nijedan više zadatak sem tih hiljadu sedamsto sedamdeset sedam. Pitanje je samo hoće li na kolokvijumu doći neki od onih koji su rešeni, ili neki od onih za koje nije dato rešenje. Nema trećeg!

Dalje, na kolokvijumima se sledeći šablon ponavlja maltene bez izuzetka. Kada nekog tokom časova zapazim kao dobrog studenta, tog na kolokvijumima redovno vidim da ulazi u amfiteatar ili samo sa sopstvenom beležnicom u ruci, ili čak i bez nje. A kada nekoga vidim da dolazi s onom torbom „krmačom“, kao da je krenuo na najlon-pijacu da prodaje polovne knjige a ne na kolokvijum — za takvog u startu znam da će teško imati nešto više od 0 bodova.

Za kraj, samo da napomenem: ne znam na kom fakultetu darence studira, i ne poznajem profesora na kog se žali. Ili, možda ga zapravo i poznajem, ali u svakom slučaju ne znam da je na ovoj temi reč baš o njemu. Dakle, sve što sam napisao nije u odbranu ovog ili onog, već lični stav uopšte.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 14.11.2011. u 20:04 · pre 181 meseci #20

Bojane, ne bih se složio sa tobom.

Po mom mišljenju na ispitu treba da se proveravaju pre svega znanje i umenje, pa tek onda inteligencija studenata, aovo poslednje dolazi u obzir samo za ocene 9 i 10. Ispit bi trebao da položi svaki vredan student. Jasno je da ne može svako da savlada matematiku, ali test opštih sposobnosti za studiranje nekog fakulteta treba da bude prijemni ispit, što znam da nažalost nije slučaj.

Dakle, asistent koji pravi olimpijadu od vežbi po pravilu ne nauči studente ništa. Prvo treba odraditi zadatke kojima se ilustruju pojmovi, pa onda zadaci kojima se razvijaju i uvežbavaju tehnike, pa onda ako ostane vremena, može i neki klikeraški da se razbije monotonija.

Student koji je naučio ne znam koliko trik zadataka je malo toga naučio, jer te trikove nigde neće moći da primeni, a student koji nauči važne tehnike je mnogo toga naučio, jer će to moći kasnije i da primeni u rešavanju nekih problema.

Međutim, upravo u tome leži glavni problem za predavače - da što više što širih klasa problema pokriju tehnikama. Da bi tako predavali, prvo sami moraju imati veliko znanje. U suprotnom sve ostaje na paroli "snađi se" za studente, jer su ih predavači malo čemu naučili. Od vrhunskih predavača se nauči više sa manje napora, nego od slabijih. Nikakav problem nije napraviti bauk od ispita. Problem je naučiti studente što više.

Dakle, student koji je naučio gradivo sa razumevanjem i dobro ga uvežbao, treba bez ikakvih trikova da može da dobije osmicu, a ako ponegde zabrlja, za to služe dve niže prelazne ocene. Naravno, treba da postoji još neki trikčić da bi se izdvojile devetke i desetke, jer treba da postoji gradacija.

E, sad, član darence se možda loše izrazio, ali ja bih rekao da je smisao njegove poruke da rokovi njegovog profesora nisu nimalo tipski, tj. sastoje se samo od trik zadataka. Ako je profesor takav, nije ni samo darence kriv ako je malo od njega naučio. Ne znam kako si iz njegovih poruka zaključio da je jako loš, ali to nije ni bitno.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Srodne teme