potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima

Bojanu bih napomenuo da, mada ne znam kakva je situacija u Novom Sadu, u Beogradu sam se nagledao rezultata na oglasnoj tabli da "pismeni ispit iz X u ispitnom roku Y nije položio niko". Smatram da to onda jeste krivica predmetnog nastavnika.

Takođe, kada student ne zasluži prelaznu ocenu, a nije u pitanju nekakav sticaj okolnosti, tj. može se govoriti o krivici za to, postoje tri mogućnosti:

1. Student je sam kriv za to.
2. Za to su krivi student i profesor.
3. Profesor je sam kriv za to.

Imao sam jednog profesora, čija su se predavanja većim delom svodila na mahanje rukama (što zaista ne smatram matematikom i zbog čega nisam odabrao taj fakultet). Slabo sam šta uspeo da razumem i nisam uspevao da položim kod njega. Smatram da to spada pod slučaj 2, jer je postojala debela knjiga na engleskom iz te oblasti, koju eto nisam hteo da pročitam.

Takođe, bio je svojevremeno jedan asistent iz kompleksne analize, koji bi na vežbama zadao zadatak sa rečima:

Kod dotičnog je mislim u čak dve generacije uspeo da položi samo jedan student, koji je sada cenjeni profesor sa katedre za analizu na dotičnom fakultetu i to sa ocenom 7-8. Smatram da je to slučaj pod 3. Slažem se da najviše ima slučajeva pod 1, ali veruj mi da ima i drugih.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Ako se saberu tri kosinusne teoreme, dobija se


sto posle sredjivanja daje


Koristeci formule ... dobija se da je .
Dakle treba pokazati da je u trouglu . Ja sam ovo dobio stavljajuci npr. da je i trazeci onda minimum funkcije ali pretpostavljam da ima neki "lepsi" nacin...

Slazem se, Nedeljko, da je najviše prisutan slučaj 1, ali i ni slucaj 2 nije rijetka pojava.

Moze i ovako:

Podjimo od Heronove formule za povrsinu trokuta



Jasno je da su svi faktori pod korijenom pozitivni, pa zbog toga iskoristimo najprije nejednakost izmedju aritmetičke i geometrijske sredine, a zatim izmedju aritmetičke i kvadratne sreine.Imamo:



Malo sam skratio postupak :) Ideja od darkosos je bila dosta zahtjevnija i zanimljivija.

Može i na standardnu foru sa smenom za ivice trougla.

,
,
,

za neke .

Površina je po Heronovom obrascu jednaka

.

Sa druge strane je

.

Dakle, nejednakost se svodi na

,

odnosno

,
,
,
.

Obzirom da po Mjurhedovoj nejednakosti važi

,
,
,

tvrđenje sledi.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Ime? Moze i na PM naravno.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Kao student Matf-a u Beogradu, mogu da iznesem svoje zakljucke. Cake i Matematicka Gimnazija koju sam zavrsio su mi pomogle na brojnim ispitima. Nijedan ispit nisam mogao da polozim samo uz pomoc toga. I to je sasvim u redu i smatram da i treba tako da bude.
Licno sam bio jako kivan na jednog profesora ove godine. Kolokvijume sam polozio sa lakocom kod asistenta. Na ispit me je bilo strah da izadjem. Zbog toga sto je jedan od, kod studenata, najozloglasenijih profesora. Za samo jedno predavanje predje toliko gradiva, koliko, cini mi se, neki prodju za citavu godinu.Zbog toga nisam ni ucio. Kad sam krenuo da ucim, ali zaista da ucim, istrazujem malo konkretnu oblast na internetu, u biblioteci, shvatio sam da covek predaje onako kako se predaje na trenutno vodecim univerzitetima. Njegovo predavanje je samo mapa stvari koje student treba sam da nauci. Skripta je uskladjena sa materijalima koje sam nasao na netu, a poticu sa Kembridza i Oksforda. Medjutim, kod njih je to odradjeno sa mnogo vise primera i dato je mnogo vise ideja i postupaka, detalja. Zbog toga, a i slicnih stvari, predavanja i vezbe uglavnom ne pratim, jer mi je mnogo lakse da citam i ucim sam.Taj ispit sam polozio u svom prvom izlasku na isti. Trebao je samo otvoren um i mnogo rada. Ono sto hocu da istaknem jeste da studenti panice i preuvelicavaju. Nekad i sa razlogom. Nekad i bez razloga. Jako cesto to rade i time samo otezavaju sebi skolovanje. Odustaju pre vremena. Govorim iz licnog i primera mojih brojnih kolega. Kod njega, jako mali broj studenat uopste i izadje na ispit, pa samim tim i polozi. Vecina odustane, prenese predmet u sledecu godinu i ceka "lakseg" profesora.
Takodje, u talenat ne verujem. Mislim da se voljom i radom sve moze postici. Cak bih se usudio reci da je talenat u stvari produkt celokupnog minulog rada vezanog za odredjenu oblast. Recimo ja ne razlikujem g od c dura, da me ubijes. Jer se tome nikad nisam posvetio. Odmalena sam se bavio matematikom, sa 4 me deda naucio sabiranje, oduzimanje i tablicu mnozenja do 100. Metodom njegovog ponavljanja i mog pokusaja i greske. Da me je ucio da pevam isviram, verovatno sad ne bi bio na ovom forumu. Jos jedan primer je jedna koleginica koju licno poznajem. Dala je u prve tri godine ukupno jednu. Ove godine je promenila nacin ucenja, koji je bio zasnovan na bubanju sablona. Ona jednostavno nije znala kako treba da uci. Mislila je da je to sto radi, ucenje sa razumevanjem. Naucis sablon i gledas kako i gde da ga primenis. Nikad nije obracala paznju na posebne delove i smisao tog sablona. To je promenila. Posteno se namucila. Pocela je da uci sa razumevanjem, sve joj je sleglo i dala je vec 40 i kusur espb, a to su bili svi sami najtezi ispiti koje je prenosila iz pocetnih godina. U septembru ce dati, siguran sam, jos par ispita. Rezultat, za jednu godinu ce poloziti koliko i za prethodne 3. Nekad je samo potrebno vreme i pravilno usmerenje. Svakog profesora koji kaze svom studentu, ti nisi stvoren za to, promeni fakultet/udaj se/zaposli se smatram losim profesorom. Ono sto je u stvari potrebno je, da se student usmeri na pravilan nacin ucenja, da se popravi temelj koji je, nazalost, uglavnom lose izgradjen u srednjoj skoli (tu naravno ne mislim na MG i jos par jako kvalitetnih skola, mada ima ljudi koji i odatle izadju bez znanja), da se napravi jedan kurs koji ce se baviti pravilnim nacinima ucenja matematike, kroz razumevanje osnovnih koncepata i ideja, njihove primene na primerima, osmisljavanje novih ideja i kombinovanje starih, nacine ucenja teorije, koja je nekad zaista obimna i tesko je nositi se sa njom. Ukoliko neko zeli da nauci, da se posveti tome, ko je profesor onda da mu namece svoje misljenje?
Nadovezacu se na moju recenicu ". . . predavanja i vezbe uglavnom ne pratim, jer mi je mnogo lakse da citam i ucim sam." Veliki broj profesora ne pokazuje ni trunku entuzijazma dok predaje. Zbog toga i ne pratim predavanja/vezbe. Jer stalno cujem jedan isti monoton glas, kako bez trunke zivosti raspreda o necemu na sta se teskom mukom koncentrisem. Primer, kad smo radili Gausovu teoremu o egregiumu, niko nije spomenuo analogiju i primer sa drzanjem parceta pice u ruci, koji je opste poznat i neverovatno lepo docarava situaciju. Nema promene boje glasa, dramske pauze, neke zive energije. Cesto se predavanja i vezbe svedu na to da profesor/asistent prepisu svoje beleske na tablu, daju par komentara i to bi bilo to. Smatram da odredjeni profesori ne zele da se angazuju oko studenata. Najcesce, lepotu u stvarima koje ucim moram da pronadjem potpuno sam, bez da mi profesor na to ukaze i time me dodatno motivise.
Ima naravno i retkih inspirativnih predavaca koji umeju da pokrenu i zainteresuju studenta. Njima zahvaljujem, jer imam na koga da se ugledam.
A sto se tice srednjoskolskih takmicenja i caka, iza toga samo stoji ogroman rad. Prepoznati odjedjenu foru, caku, u stvari znaci imati veliko iskustvo sa tim, pa dodje nekako prirodno da se, eto bas to uradi. Ukoliko profesor preferira takve zadatke, prilagodis se, vezbas, skupis iskustvo i polozis.
Cesto na mom, a i na drugim fakultetima ne razumem rat izmedju studenata i profesora. Obe strane dele isti cilj. Potrebno je mnogo vise price i obostranog rada i angazovanja da bi se te ratne sekire zakopale, studenti dobili znanje, a profesori studente kakve zele. Mislim da profesori nemaju toliko pravo da krive svoje studente za nerad, a studenti profesore za preobimno gradivo i preteske zadatke. Mogli bi malo vise da cenimo i postujemo jedni druge.

Ako govorimo o greskama profesora, onda treba reći da neki profesori matematike jesu profesionalci i vrsni poznavaoci one materije koju predaju, pa, ako hoćete, i matematike općenoti, ali su loši metodičati.

Znati matematiku je jedna stvar, a znati prenijeti znanje koje posjedujete učenicima je nešto sasvim drugo.

@Milosh Milosavljevic1
Ovo sto si napisao, i sa cime se uglavnom slazem, me malo podsetilo na mene, u sledecem: i mene je deda rano naucio da racunam, ali tu se sada ne slazem sa tobom da nije potreban talenat. Odnosno, nazovimo to prirodnom sklonoscu ili vec kakogod, a potreban je i neki unutrasnji motiv da se neko posveti tako necemu, posebno dok je jos dete... Dakle, mora postojati sila privlacenja izmedju matematike i osobe :) I kao sto neko moze da postigne visoke rezultate u sportu zato sto mu gradja i mentalni sklop to dozvoljavaju to vazi i za matematiku (u pitanju bi bila gradja mozga :) ). Naravno, talenat nije neophodan da bi zavrsio fakultet - to i nije bas neki vrhunski rezultat...

I druga stvar koju sam hteo da prokomentarisem je u vezi znanja "kako uciti". E da je meni neko bio to da objasni. Doduse ja sam studirao 90ih kada nije bilo toliko dostupnih znanja i uopste, nismo uceni da sami bilo sta istrazujemo. Ali svakako nisam imao pojma kako da ucim. A nisam imao pojma jer to do fakulteta prakticno nisam ni radio - osim kada je trebalo da popravim keca :) Dakle, taj "kurs koji ce se baviti pravilnim nacinima ucenja matematike" bi meni tada bas leg'o. Mislim, zavrsio sam ja i ovako, jer me sve to strasno zanimalo, ali bi mozda postigao "bolje rezultate", a i lakse dolazio do njih. Mada, tada bi mozda zavrsio kao matematicar profesionalno, a ovako je to sada samo hobi. U svakom slucaju, imas veoma dobar pristup...

I na kraju, kao sto niko studente ne uci kako se uci, tako i niko profesore ne uci kako se predaje, i zato je sve to tako.

Nacin na koji ucim ima i dobre i lose strane. Dobre strane su to sto ucim sa razumevanjem i kad polozim ispit, znam da je to zasluzeno. Takodje znam da cu sigurno poloziti. Lose je to sto retko kad dobijem najvisu ocenu, jer cesto previse odem u detalje i ne stignem da sve naucim jednako kvalitetno. Uzrok ovoga je naravno obimno gradivo, ali cesto i moja nedisciplina. Recimo, jednom mi se desilo da sam pred usmeni ispit imao 62/65 poena i naucio sam kvalitetno 70% gradiva za usmeni. Medjutim, oba pitanja na usmenom su mi bila iz slabijih 30% i profesor mi je dao par poena na poznavanje osnovnih koncepata, teorema i primene, ali nisam imao u glavi potrebne dokaze, leme za dokaze i sl. i dobio sam 7, sto je ocena koju dobijes kad imas izmedju 61 i 70 poena. Dakle, koju sam zasluzio jos i pre usmenog. Moram reci da se divim studentima na mom fakultetu koji iscrpno sve nauce i sve stignu.

Složio bih se sa Darkom da je osim truda potreban i talenat, ali ne samo za vrhunske rezultate, nego i za fakultet. Taj talenat za završavanje fakulteta nije bogznašta, ali je potreban u nekoj meri. Sve ostalo je rad, rad, rad i rad.

Miloš je u velikoj meri u pravu, ali preteruje. Za rešavanje olimpijskih zadataka "fore" nisu dovoljne, ali su bez njih takmičaru šanse praktično nikakve. Upravo na ovoj temi sam ilustrovao šablonsko reševanje jednog olimpijskog zadatka. Međutim, taj zadatak je postavljen pre više od pola veka. Od onda su zadaci jako otežani, jer se uzima u obzir da takmičari znaju "fore", mada se zadaci mogu rešiti i bez njih, ali mnogo teže. Sa "forama" je jako teško, a bez njih "nemoguća misija".

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Nedeljko, slazem se da za resavanje olimpijskih zadataka fore nisu dovoljne. Moj cimer u internatu tokom srednje skole je bio olimpijac I osvajac medalje, (Rade Spegar), znam koliko je truda I rada ulozio u to. U drugom razredu srednje je vec pomno izucio I proucio gradivo Linearne Algebre I Matematicke Analize(Celokupno gradivo prve godine Matfa iz ovih oblasti), Funkcionalnih jednacina. Resavao je I neverovatno teske zadatke iz geometrije najrazlicitijim metodama, kompleksnim brojevima, izometrijama, inverzijom, elementarno. Radio je svakodnevno po sest ili sedam sati, van skolske nastave I programa da bi to postigao. Secam se knjige, koja se cini mi se zove IMO Compendium, odakle tada nisam umeo skoro nijedan zadatak da resim, a on je odradio skoro sve zadatke odatle. Sada studira na Stanfordu.
Ono sto sam zeleo reci, da nijedan profesor, zasigurno nece dati sve same olimpijske zadatke na ispitu, mozda eventualno do tezine republickog takmicenja(na kojem dolaze zadaci koji su pre cetrdesetak godina bili olimpijski) I to jedan, u najgorem slucaju dva zadatka, jer time nista ne bi postigao. Svi student bi pali ispit. A vec sam rekao da su studenti skloni panici I preuvelicavanju, tako da razumem brigu Darence-ta, I sam sam kroz istu prosao.

Ma, naravno da svako ko je nešto međunarodno zapaženo postigao da se odrao od rada. Međutim, tvom cimeru je osim toga bio neophodan i talenat.

Mislim da smo se razumeli.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Jesmo, s tim, da ja smatram da se covek ne radja sa talentom. On taj talenat stice radom, pocev od trenutka kad se njegov mozak dovoljno razvije da samostalno misli i zakljucuje.

Čovek razne sposobnosti razvija tokom života, a definicija talenta je ono što je urođeno. Nemaju svi jednake urođene sposobnosti. Eto, ja nemam sluha skoro nimalo. Mogao sam da razvijem muzičke sposobnosti donekle da sam ih forsirao. No, samo bih gubio vreme razvijajući nešto za šta nisam obdaren i što mogu da razvijem mnogo manje od nekih drugih.

U velikoj si zabludi ako misliš da se ljudi rađaju jednaki. U tom slučaju ne bi bilo evolucije.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Mislim da je ovaj bio na olimpijadi u Washingtonu...



a, b, c pozitivni

Ja bi rekao da se svi ljudi radjaju jednaki u smislu da su svi rodjeni sa izvjesnim potencijalom "za nesto" . Ali, isto tako nemoguce je da su svi rodjeni sa talentom, recimo za matematiku. U konkretnoj nauci sposobnosti i talenat vrlo su razliciti.

Takodjer su i moje sposobnosti za muziku ravne nuli ;)

Nažalost, ni to nije tačno. Primeni sve to na ukupan tok evolucije. Mnogo se lakše vidi. Za šta su amebe obdarenije od nas? Za bespolno razmožavanje? Proždiranje drugih ćelija?

Što se samog zadatka tiče, uz smenu

,
,
,

se dobija da se pod uslovom , nejednakost svodi na

.

Označimo funkciju po na levoj strani nejednakosti sa

Nejednakost je svakako tačna ako u trojci ima bar dva elementa koja nisu veća od . Pretpostavimo da je . Ako nejednakost ne važi, onda je .

Neka je . U tom slučaju imamo funkciju dve promenljive čiji je izvod na primer po jednak

.

Funkcija je opadajuća na intervalu . Dakle,

.

Uz smenu dovoljno je dokazati da je



za .

Već je dokazano da ta nejednakost važi za . Izvod te funkcije je

.

Ispitajmo kada je on negativan.

,
,
,
,
,
.

Dakle, funkcija

.

raste na intervalu , opada na intervalu i raste na intervalu . Stoga tvrđenje sledi iz

.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Nemam resenje, ali samo da primetim da u prvoj nejednakosti, mora da stoji i =, sto je ispunjeno za a=b=c.