Srodne teme
Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Zanimljiva nejednakost

[es] :: Matematika :: Zanimljiva nejednakost

[ Pregleda: 1662 | Odgovora: 4 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

Fermion
ucenik

Član broj: 273771
Poruke: 237
*.mbb.telenor.rs.



+13 Profil

icon Zanimljiva nejednakost29.11.2010. u 09:33 - pre 148 meseci
Evo jedne nejednakosti koju nikako da dokažem. Svojevremeno je bila predlog za IMO.

Treba pokazati da za pozitivne brojeve a>0, b>0, c>0 važi:


Pokušao sam da rešim zadatak korišćenjem nejednakosti između aritmetičke, harmonijske i geometrijske sredine, uvođenjem smena, svođenjem na zbir kvadrata, ali nisam uspeo da zadatak rešim do kraja iako mi se čini da sam na dobrom putu.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8578
*.teletrader.com.



+2777 Profil

icon Re: Zanimljiva nejednakost29.11.2010. u 10:42 - pre 148 meseci
To se svakako može dokazati primenom Mjurhedove teoreme.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Fermion
ucenik

Član broj: 273771
Poruke: 237
*.mbb.telenor.rs.



+13 Profil

icon Re: Zanimljiva nejednakost29.11.2010. u 11:02 - pre 148 meseci
Da, ali je zadatak iz dela knige o nejednakostima gde se govori o odnosima između sredina, dakle trebalo bi da postoji neki elegantniji način da se pomoću toga dođe do rešenja.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8578
*.teletrader.com.



+2777 Profil

icon Re: Zanimljiva nejednakost29.11.2010. u 13:50 - pre 148 meseci
Iz sledi da u opštem slučaju važi

, pa je

.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

Fermion
ucenik

Član broj: 273771
Poruke: 237
*.mbb.telenor.rs.



+13 Profil

icon Re: Zanimljiva nejednakost29.11.2010. u 22:22 - pre 148 meseci
Hvala. Svaka čast na kratkom i efektnom dokazu.

U međuvremenu sam i ja uspeo na sličan način da dokažem ovu nejednakost, ali dužim putem.

Pođimo od pretpostavke da je ispunjena nejednakost:


Pošto je a>0, b>0 i c>0, važi i , kao i ako polaznu nejednakost pomnožimo sa ne menja se znak kod nejednakosti pa važi:


Ovo je ekvivalentno sa:


Dokažimo da je:


Nejednakost pomnožimo sa 2.


Odatle:




Zadnja nejednakost je jasno ispunjena, pošto je zbir kvadrata veći ili jednak 0.

Ako se nejednakost iskoristi u dobija se:


To je ekvivalentno sa:


Treba dokazati da je:


Slično kao i dokazuje se:



Preostaje da se dokaže da je:


Kada se ovo pomnoži sa dva, dobijena nejednakost se transformiše u obilk:


Ova nejednakost je zadovoljena za svako a, b, c>0, pa je polazna pretpostavka tačna, tj. važi:


Jedakost važi ako i samo ako:




Prema tome jednakost se dobija ako i samo ako .

Pošto su a, b, c istoga znaka ovo je ekvivalentno sa .
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: Zanimljiva nejednakost

[ Pregleda: 1662 | Odgovora: 4 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Srodne teme
Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.