[es] - Zadatak iz teorije brojeva

Kolins Balaban
Kolins Balaban
Srednja bosna

Član broj: 4847
Poruke: 1318
*.team.ba.

ICQ: 166070540

+8 Profil

^{07.11.2010. u 16:25 - pre 163 meseci}

Zadatak ovako glasi:
Na stolu se nalaze knjige koje treba spakovati. Ako ih pakujemo po 4 ili 5 ili 6, svaki put bi ostale po dvije knjige, a ako ih pakujemo po 7, sve ce biti spakovane
a) Koliko najmanje knjiga moze biti na stolu?
b) Naci sva ostala rjesenja za broj knjiga na stolu

Ja sam radio ovako:
x-ukupan broj knjiga na stolu, a

nekakvi paketi knjiga.

***

****
iz ** i **** slijedi

*****

1. broj koji pri djeljenju sa 5 daje ostatak 2, moze zavrsavati jedino ciframa 7 i 2.
2. iz ***** mozemo zakljuciti, da

moze biti jednako

.... direktnom provjerom, tj. ubacivanjem navedenih vrijednosti za d u ***** i racunanjem b, a uzimajuci u obzir navedeno pod 1. za x dobijemo da je to broj 182.
mene zanima, da li postoji neko pravilo (sema) ili nekakav elegantniji nacin rjesavanja ovih zadataka? pod b nisam uspio rijesiti... Hvala!

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
212.200.65.*

+2790 Profil

Re: Zadatak iz teorije brojeva

^{07.11.2010. u 17:00 - pre 163 meseci}

Prvo, 6a+2 je 2(3a+1), a ne 3(2a+1).

NZS(4,5,6,7)=420

Iz x=4a+2 množenjem sa 105 dobija se da je 105x=420a+210.
Iz x=5b+2 množenjem sa 84 dobija se da je 84x=420b+168.
Iz x=6b+2 množenjem sa 70 dobija se da je 70x=420c+140.
Iz x=7d množenjem sa 60 dobija se da je 60x=420d.

Oduzimanjem poslednje dobijene jednačine od prethodno dobijenih dobija se da je

60x=420d
45x=420(a-d)+210
24x=420(b-d)+168
10x=420(c-d)+140

Oduzimanjem poslednje dobijene jednačine od prethodnih odgovarajući broj puta, dobija se

0=420(2d-c)-840
10x=420(c-d)+140
5x=420(3d+a-4c)-350=420(3d+a-4c-1)+70
4x=420(b+d-2c)-112=420(b+d-2c-1)+308

Oduzimanjem poslednje jednačine od pretposlednje dobijamo da je

x=420(2d+a-b-2c)-238=420(a-b-2c+2d-1)+182

Sada treba proveriti da li broj 182 zadovoljava navedene uslove. Ostaci mu jesu toliki koliki treba da budu i svako rešenje mora biti oblika 420k+182. Lako se proverava da svako od takvih rešenja zadovoljava tražene uslove.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

capsela
student

Član broj: 247505
Poruke: 37
*.adsl-a-5.sezampro.rs.

+5 Profil

Re: Zadatak iz teorije brojeva

^{07.11.2010. u 17:08 - pre 163 meseci}

Ovako,
neka je x- ukupan broj knjiga. Cinjenica da se pakovanjem knjiga po 4, odnodno 5 , odnosno 6, dobijaju uvek dve knjige viska, moze se reprezentovanti sledecim matematickim zapisom:
xmod4=2
xmod5=2
xmod6=2

i konacno, kada se pakuju po 7, nema viska:

xmod7=0 (odnosno, ukupan broj knjiga je neki broj deljiv sa 7)

dalje, gore napisane formulacija, ekvivelatne su sledecim:

x=4a+2
x=5b+2
x=6c+2
x=7d
gde su a,b,c,d, neki briojevi iz skupa Z ( ili preciznije N).

izrazavanjem tih brojeva preko x, dobijamo

odavde sledi da, ako obelezimo sa m=x-2, vazi:

4|m i 5|m i 6|m

najmanji broj, koga dele ova tri broja je 60. medjutim, ako zamenimo u poslednem izrazu, videcemo da 58 (=60-2) nije deljivo sa 7. Ispitajmo sada koji sledeci broj dela ova tri (4,5,6).. to je 120. opet imamo da je x-2=120 => x=122
ni 122 ne moze se podeliti sa 7 a da se dobije ceo broj.
medjutim, kada je m=180, x=182, a 182 je deljivo sa 7! :)

dakle, najmanji broj knjiga koji se nalazi na stolu je 182
da proverimo: ako pakujemo knjige po 4 => 182/4= 45 i ostatak 2
ako pakujemo knjige po 5 => 182/5= 36 i ostatak 2
ako pakujemo knjige po 6 => 182/6= 30 i ostatak 2

i to je to!

Odgovor na temu

Sini82

Član broj: 234605
Poruke: 479
62.101.141.*

Jabber: Sini82@elitesecurity.org

+33 Profil

Re: Zadatak iz teorije brojeva

^{09.11.2010. u 18:42 - pre 163 meseci}

Najmanji broj knjiga koje ce biti na stolu je najmanji broj oblika

koji je djeljiv sa 7, tj. takav da je

tj.

.

Tražimo neparne brojeve koji su djeljivi sa 7. To su: 7, 21, 35, 49, ...

tada uzima vrijednosti: 3, 10, 17, 24,...
Brojevi knjiga na stolu su: 182, 602, 1022, 1442, ...

_{[Ovu poruku je menjao Sini82 dana 10.11.2010. u 15:37 GMT+1]}

Odgovor na temu

Kolins Balaban
Kolins Balaban
Srednja bosna

Član broj: 4847
Poruke: 1318
92.36.196.*

ICQ: 166070540

+8 Profil

Re: Zadatak iz teorije brojeva

^{10.11.2010. u 06:36 - pre 163 meseci}

hvala na pomoci, i rjesenju. Sini, 122 nije djeljivo sa 7..... pa se taj broj ne moze uzeti kao rjesenje... ostali zadovoljavaju uslove zadatka.

Odgovor na temu

Sini82

Član broj: 234605
Poruke: 479
62.101.141.*

Jabber: Sini82@elitesecurity.org

+33 Profil

Re: Zadatak iz teorije brojeva

^{10.11.2010. u 14:37 - pre 163 meseci}

@Kolins Balaban:

Hvala na ispravci, greška u kucanju:

Odgovor na temu