Zadatak iz kongruencija

Zadatak iz kongruencija 27.10.2008. u 09:45 · pre 219 meseci #1

1.Dokazati da ne postoji prirodan broj n takav da je $4n^2+4$ djeljivo sa 19.

2.Odrediti zadnje 2 cifre broja ${14^{14}}^{14}$ .

Prvi sam išao ovako n=19k+r, r=0,18 pa kad se sredi dobije se da mora biti $r^2+1$ djeljivo sa 19, r ide od 0 do 18 i imamo $1<=r^2+1<=325<19*18$ odakle se vidi kontradikcija.

Drugi sam dobio ostatak 76.

Interesuje me kako bi se ovi zadaci mogli uraditi najkraće moguće.

_{[Ovu poruku je menjao h4su dana 27.10.2008. u 22:34 GMT+1]}

Re: Zadatak iz kongruencija 27.10.2008. u 20:54 · pre 219 meseci #2

Imal kakvih rjesenja ?

Re: Zadatak iz kongruencija 28.10.2008. u 07:59 · pre 218 meseci #3

Sto se tice prvog, to je standardan nacin resavanja.

Sto se tice drugog, mogao si da kazes kako si ti radio. Treba najpre odrediti ostatje pri delenju ${14^{14}}^{14}$ sa 4 i 25, a onda od toga sklopiti rezultat. Rezultat je ocigledno deljiv sa 4. 14 je uzajamno prosto sa 25, pa mozes primeiti Ojlerovu teoremu. No onda treba odrediti ostatak pri delenju broja $14^{14}$ sa 20, odnosno sa 4 i sa 5. Broja $14^{14}$ je svakako deljiv sa 4, a posto je 14 uzajamno prosto sa 5, opet primenjujes Ojlerovu teoremu. Ostatak pri delenju 14 sa 4 je 2, odnosno 14 sa 5 je 3, pa je $14^{14}$ po modulu 5 kongruentno sa $2^3$ , odnosno sa 3. Odatle sledi da je $14^{14}$ kongruentno po modulu 20 sa 8. Zbog toga je ${14^{14}}^{14}$ kongruentno po modulu 25 sa $14^8$ odnosno sa 6, a kako je ${14^{14}}^{14}$ deljivo sa 4, rezultat je 56.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zadatak iz kongruencija 28.10.2008. u 08:51 · pre 218 meseci #4

Pozdrav,Nedeljko nista bez tebe :D.Hvala na odgovoru, mislio sam mozda postoji neka druga fora na koju se moze uraditi prvi a drugi sam radio ovako:

${14}^{14}$ kongruentno sa 6 po modulu 10 pa sam onda posmatrao $6^{14}$ po modulu 100.

Re: Zadatak iz kongruencija 28.10.2008. u 09:12 · pre 218 meseci #5

Imam i ja neke omaske. 14¹⁴ je po modulu 20 kongruentno sa 16, pa je samim tim rezultat 36. No, nema veze. Gresis u pristupu jer ${14^{14}}^{14}$ znaci $14^{\big(14^{14}\big)}$ , a ne $\Big(14^{14}\Big)^{14}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zadatak iz kongruencija 28.10.2008. u 14:28 · pre 218 meseci #6

Eh,ovako

${{14}^{14}}^{14}\equiv x(mod\ 4*25)$
${{14}^{14}}^{14}\equiv a(mod\ 25),{{14}^{14}}^{14}\equiv 0(mod\ 4)$

$\varphi (25)=20 ; {{14}^{14}}\equiv 1(mod\ 5);{{14}^{14}}\equiv 0(mod\ 4);{{14}^{14}}\equiv -4(mod\ 20);{{14}^{14}}\equiv 16(mod\ 20);$

slijedi ${14}^{14}}^{14}\equiv 14^{16}(mod\ 25)$
........ ${14}^{2}}\equiv 21(mod\ 25)$
........ ${14}^{16}}\equiv 21^{8}(mod\ 25)$
........ ${14}^{16}}\equiv 11(mod\ 25)$
........ ${14}^{14}}^{14}\equiv 11(mod\ 25)$

${{14}^{14}}^{14}\equiv 11(mod\ 25)$
${{14}^{14}}^{14}\equiv 0(mod\ 4)$
$25*1+4*(-6)=1$ pa na osnovu posljedice kineske teoreme o ostacima

${{14}^{14}}^{14}\equiv 4*(-6)*11(mod\ 100)\equiv 36(mod\ 100)$

Re: Zadatak iz kongruencija 28.10.2008. u 21:01 · pre 218 meseci #7

Dobro je.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Srodne teme