[es] - Zapremina tela zajednickog za cilindre

sivestre

Član broj: 115837
Poruke: 9
*.dlp255.bih.net.ba.

Profil

Zapremina tela zajednickog za cilindre

^{16.10.2006. u 22:58 - pre 213 meseci}

Zadatak glasi:
Naći zapreminu tela zajedničkog za cilindre

Bilo kakva pomoć mi je dobrodošla, jer se do sada nisam sretao sa ovakvim zadacima a nemam ni odgovarajuću literaturu.

Odgovor na temu

pjervg
Zoran Peric

Član broj: 117484
Poruke: 7
*.uis.kg.ac.yu.

Profil

Re: Zapremina tela zajednickog za cilindre

^{19.10.2006. u 11:01 - pre 213 meseci}

Pokusaj sa visestrukim integralom. Ako lepo postavis granice, ne bi trebalo da bude problema.

Odgovor na temu

sivestre

Član broj: 115837
Poruke: 9
*.dlp49.bih.net.ba.

Profil

Re: Zapremina tela zajednickog za cilindre

^{19.10.2006. u 20:12 - pre 213 meseci}

Moze li kako bez visestrukog integrala? Ovaj zadatak je iz oblasti gde se primenjuju "obicni" integrali, a tim pre sto ne poznajem oblast visestrukih integrala. Postoji li kakav link na netu koji obradjuje zapreminu tela i slicne zadatke?

Odgovor na temu

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
62.193.129.*

+6 Profil

Re: Zapremina tela zajednickog za cilindre

^{19.10.2006. u 21:46 - pre 213 meseci}

Pre svega, problem možeš pojednostaviti ako uočiš da su date krive simetrične po kvadrantima, te je dovoljno izračunati zapreminu u jednom oktantu i pomnožiti je sa osam.

Ako uočiš proizvoljnu tačku u unutrašnjosti prve figure i na njoj postaviš diferencijale

, onda će elementarna zapremina imati oblik prizme čija je baza pravougaonik

a visina

. Prema jednačini druge krive, ta visina iznosi

(uzimamo samo pozitivnu granu jer računamo zapreminu u prvom oktantu). Očigledno, ta visina ne zavisi od

, pa umesto elementarne baze

možemo uzeti čitavu traku

, čime nam elementarna zapremina postaje

. Sada možeš zameniti izraze za

, odrediti granice integracije i konačni rezultat pomnožiti sa 8.

Ako nisam zabrljao račun, rezultat je

Odgovor na temu

sivestre

Član broj: 115837
Poruke: 9
*.dlp66.bih.net.ba.

Profil

Re: Zapremina tela zajednickog za cilindre

^{22.10.2006. u 00:17 - pre 213 meseci}

Zahvaljujem na pomoci, ali cini mi se da moram jos dosta da poradim na ovoj oblasti. Zapravo ne mogu da uoblicim kako izgleda to telo ciju zapreminu trazim. Jos uvek mi je nejasno kako da nacrtam grafik npr. cilindra

Odgovor na temu

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
62.193.129.*

+6 Profil

Re: Zapremina tela zajednickog za cilindre

^{22.10.2006. u 00:29 - pre 213 meseci}

Katkad je prilično teško zamisliti telo u koordinatnom sistemu. Zato u principu ne treba da se oslanjaš na vizuelizaciju, nego da na osnovu jednačina i njihovih algebarskih osobina izvodiš geometrijske osobine tela.

Inače, kriva

zove se astroida i na priloženoj slici prikazana je za

. Simetričnost po kvadrantima odmah dobijaš kad uočiš da, ukoliko tačka

zadovoljava jednačinu krive, onda je zadovoljavaju i tačke

Prikačeni fajlovi

astroida.JPG - 42.65k

Odgovor na temu

sivestre

Član broj: 115837
Poruke: 9
*.dlp277.bih.net.ba.

Profil

Re: Zapremina tela zajednickog za cilindre

^{23.10.2006. u 11:35 - pre 213 meseci}

Mene je u pocetku zeznulo sto sam mislio da se radi o kruznim cilindrima. Ponavljam nisam radio ovakve zadatke a ovaj silom prilika moram da uradim u roku. Razmisljao sam te malo prepravio tvoju sliku, skicirao sam otprilike taj jedan od 8 delova, ali ne znam je li to to. A ako i jeste, opet imam problema sa izracunavanjem zapremine.

Prikačeni fajlovi

astroida1.jpg - 21.19k

Odgovor na temu

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
62.193.129.*

+6 Profil

Re: Zapremina tela zajednickog za cilindre

^{23.10.2006. u 11:53 - pre 213 meseci}

Da li ti je inače jasan princip po kome se, u dve dimenzije, izračunava površina ispod grafika neke funkcije? Razlaganje na elementarne pravougaonike, sumiranje, i uzimanje limesa koji se onda definiše kao integral?

Kod zapremine je potpuno isti princip, samo što umesto pravougaonika, dimenzija

, uzimamo elementarnu prizmu dimenzija

. U opštem slučaju, pošto imamo dva diferencijala, rešavanje će zahtevati dvostruki integral. Međutim, u ovom konkretnom slučaju stvar se svodi na jednostruki, zbog geometrijskih osobina cilindra, a za to pojednostavljenje dobro prouči moj post u kome navodim postupak i konačni rezultat, pa priupitaj ako ti šta ostane nejasno.

Možeš i pažljivo razgledati sliku koju si napravio: Geometrijsko telo je nekakav "piramidoid" (ovaj termin ne postoji) čija baza leži u ravni