Zapremina tela zajednickog za cilindre

Zapremina tela zajednickog za cilindre 16.10.2006. u 23:58 · pre 244 meseca #1

Zadatak glasi:
Naći zapreminu tela zajedničkog za cilindre

$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$

i

$x^{2/3}+z^{2/3}=a^{2/3}$

Bilo kakva pomoć mi je dobrodošla, jer se do sada nisam sretao sa ovakvim zadacima a nemam ni odgovarajuću literaturu.

Re: Zapremina tela zajednickog za cilindre 19.10.2006. u 12:01 · pre 244 meseca #2

Pokusaj sa visestrukim integralom. Ako lepo postavis granice, ne bi trebalo da bude problema.

Re: Zapremina tela zajednickog za cilindre 19.10.2006. u 21:12 · pre 244 meseca #3

Moze li kako bez visestrukog integrala? Ovaj zadatak je iz oblasti gde se primenjuju "obicni" integrali, a tim pre sto ne poznajem oblast visestrukih integrala. Postoji li kakav link na netu koji obradjuje zapreminu tela i slicne zadatke?

Re: Zapremina tela zajednickog za cilindre 19.10.2006. u 22:46 · pre 244 meseca #4

Pre svega, problem možeš pojednostaviti ako uočiš da su date krive simetrične po kvadrantima, te je dovoljno izračunati zapreminu u jednom oktantu i pomnožiti je sa osam.

Ako uočiš proizvoljnu tačku u unutrašnjosti prve figure i na njoj postaviš diferencijale $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$ , onda će elementarna zapremina imati oblik prizme čija je baza pravougaonik $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$ a visina $z$ . Prema jednačini druge krive, ta visina iznosi $z=(a^{2/3}-x^{2/3})^{3/2}$ (uzimamo samo pozitivnu granu jer računamo zapreminu u prvom oktantu). Očigledno, ta visina ne zavisi od $y$ , pa umesto elementarne baze $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$ možemo uzeti čitavu traku $\mathrm{d}x,y$ , čime nam elementarna zapremina postaje $zy\mathrm{d}x$ . Sada možeš zameniti izraze za $z$ i $y$ , odrediti granice integracije i konačni rezultat pomnožiti sa 8.

Ako nisam zabrljao račun, rezultat je $V={128\over 105}a^3$

Re: Zapremina tela zajednickog za cilindre 22.10.2006. u 01:17 · pre 244 meseca #5

Zahvaljujem na pomoci, ali cini mi se da moram jos dosta da poradim na ovoj oblasti. Zapravo ne mogu da uoblicim kako izgleda to telo ciju zapreminu trazim. Jos uvek mi je nejasno kako da nacrtam grafik npr. cilindra $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$ .

Re: Zapremina tela zajednickog za cilindre 22.10.2006. u 01:29 · pre 244 meseca #6

Katkad je prilično teško zamisliti telo u koordinatnom sistemu. Zato u principu ne treba da se oslanjaš na vizuelizaciju, nego da na osnovu jednačina i njihovih algebarskih osobina izvodiš geometrijske osobine tela.

Inače, kriva $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$ zove se astroida i na priloženoj slici prikazana je za $a=8$ . Simetričnost po kvadrantima odmah dobijaš kad uočiš da, ukoliko tačka $(x,y)$ zadovoljava jednačinu krive, onda je zadovoljavaju i tačke $(-x,y),(-x,-y),(x,-y)$

astroida.JPG42.65k

Re: Zapremina tela zajednickog za cilindre 23.10.2006. u 12:35 · pre 244 meseca #7

Mene je u pocetku zeznulo sto sam mislio da se radi o kruznim cilindrima. Ponavljam nisam radio ovakve zadatke a ovaj silom prilika moram da uradim u roku. Razmisljao sam te malo prepravio tvoju sliku, skicirao sam otprilike taj jedan od 8 delova, ali ne znam je li to to. A ako i jeste, opet imam problema sa izracunavanjem zapremine.

astroida1.jpg21.19k

Re: Zapremina tela zajednickog za cilindre 23.10.2006. u 12:53 · pre 244 meseca #8

Da li ti je inače jasan princip po kome se, u dve dimenzije, izračunava površina ispod grafika neke funkcije? Razlaganje na elementarne pravougaonike, sumiranje, i uzimanje limesa koji se onda definiše kao integral?

Kod zapremine je potpuno isti princip, samo što umesto pravougaonika, dimenzija $\mathrm{d}x,y$ , uzimamo elementarnu prizmu dimenzija $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,z$ . U opštem slučaju, pošto imamo dva diferencijala, rešavanje će zahtevati dvostruki integral. Međutim, u ovom konkretnom slučaju stvar se svodi na jednostruki, zbog geometrijskih osobina cilindra, a za to pojednostavljenje dobro prouči moj post u kome navodim postupak i konačni rezultat, pa priupitaj ako ti šta ostane nejasno.

Možeš i pažljivo razgledati sliku koju si napravio: Geometrijsko telo je nekakav "piramidoid" (ovaj termin ne postoji) čija baza leži u ravni $yOz$ , tako da ga možeš rastavljati na slojeve - preseci ga proizvoljnom ravni $x=x_0$ i na tom preseku podigni elementarnu prizmu debljine $\mathrm{d}x$ . Postavi izraz za površinu tog preseka u zavisnosti od $x$ - označimo je sa $S(x)$ - a onda integrali $S(x)\mathrm{d}x$ (što je zapremina elementarne prizme čija je baza $S(x)$ a visina $\mathrm{d}x$ ) u odgovarajućim granicama.

Re: Zapremina tela zajednickog za cilindre 26.10.2006. u 20:30 · pre 243 meseca #9

$z=(a^{2/3}-x^{2/3})^{3/2}$ i $y=(a^{2/3}-x^{2/3})^{3/2}$

Uvrštavamo u izraz $P(x)=zydx$ te integrisemo

pa sledi

$\int_0^a ((a^{2/3}-x^{2/3})^{3/2})^2dx=\int_0^a (a^{2/3}-x^{2/3})^3dx =\int_0^a ((a^{2/3})^3-3(a^{2/3})^2x^{2/3}+3a^{2/3}(x^{2/3})^2-(x^{2/3})^3)dx$
$=a^{2}\int_0^adx-3a^{4/3}\int_0^ax^{2/3}dx+3a^{2/3}\int_0^ax^{4/3}dx-\int_0^ax^{2}dx=$
$=a^{2}x\bigg|_0^a-3a^{4/3}{x^{5/3}\over(5/3)}\bigg|_0^a+3a^{2/3}{x^{7/3}\over(7/3)}\bigg|_0^a+{x^{3}\over3}\bigg|_0^a=$
$=a^{3}-{9\over5}a^{3}+{9\over7}a^{3}-{a^{3}\over3}={a^3(105-189+135-35)\over(105)}=a^{3}{16\over105}$

zatim mnozimo sa 8 i na kraju imamo:
$V=a^{3}{128\over105}$

Mislim da je to to.

Farenhajt hvala mnogo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme