Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Elementarna teorija brojeva

[es] :: Matematika :: Elementarna teorija brojeva

[ Pregleda: 3623 | Odgovora: 2 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

qzqzqz

Član broj: 66936
Poruke: 219
*.ptt.yu.



Profil

icon Elementarna teorija brojeva03.11.2005. u 09:53 - pre 194 meseci
Evo dva zadatka od mene.

1.Dokazati da se iz svakog aritmetickog niza (svi clanovi niza pripadaju prirodnim brojevima) moze izdvojiti beskonacno mnogo brojeva takvih da oni imaju medjusobno iste proste faktore( prosti cinioci mogu da budu na razlicitim stepenima).

2. Naci sva resenja jednacine takva da je
a) u skupu ;
b) u skupu .


 
Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3994
*.dialup.neobee.net.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253


+604 Profil

icon Re: Elementarna teorija brojeva05.11.2005. u 02:15 - pre 194 meseci
Ja ću da dam malo obimniju diskusiju zadatka 2, nadam se da neću (previše) smoriti.

Za početak, tražimo realna rešenja jednačine , gde je nepoznata a parametar (obe veličine su pozitivne).

Tvrđenje 1:

Postoji rešenje jednačine (1) ako i samo ako je , i za takvo to rešenje je jedinstveno.

Dokaz:

Neka je . Logaritmujući vidimo da je jednačina (1) ekvivalentna sa (gde je parametar). Broj rešenja jednačine (2) jednak je (jedinicu oduzimamo da ne bismo računali trivijalno rešenje ). Dalje, pošto je sledi da raste na intervalu , dostiže maksimum u , i opada u intervalu . Pošto je sledi da su prave i horizontalna i vertikalna asimptota funkcije , redom. Dakle,

pa je i

Zaključak sada sledi iz (3).

Na osnovu tvrđenja 1 sledi da možemo definisati funkciju koja preslikava domen na samog sebe, takvu da predstavlja jedinstveno netrivijalno rešenje jednačine . Takođe primetimo da možemo da zamenimo mesta promenljivama i . Sada, posmatrajući grafik funkcije (definisan u dokazu tvrđenja 1), primećujemo da dok raste u odgovarajuće opada u , i obratno. Dakle, strogo opada na celom svom domenu. Osim toga, možemo proveriti da je , pa ćemo ovo baš ovako i definisati. Ovo nam omogućuje da rešimo prvi deo zadatka:

a) Jedina netrivijalna prirodna rešenja posmatrane jednačine su i .

Dokaz:

Pošto je jedini prirodan broj u intervalu i , je jedina celobrojna tačka grafika za . Simetrijom dobijamo i drugo navedeno rešenje.

Napomena:

Ovaj deo zadatka mogao se rešiti i sasvim elementarno, međutim takvo rešenje se ne bi moglo dalje uopštiti, pa sam odlučio da napišem ovu varijantu. Ukoliko nekoga ipak zanima i elementarno rešenje neka se javi na ovoj temi pa ću i to ispisati.

Dalje, neka je za netrivijalno rešenje posmatrane jednačine za neko . Važi i može biti napisano u obliku odnosno pa je iz čega sledi pa nalazimo da je . Neka je . Tada možemo zapisati rešenja jednačine u parametarskom obliku:

Primetimo da su za rešenja data sa

zapravo netrivijalna racionalna rešenja posmatrane jednačine. Prelazimo na rešavanje drugog dela zadatka.

b) Sva racionalna rešenja posmatrane jednačine data su parametrizacijom (5).

Dokaz:

Bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti da je . Dakle, neka je racionalno rešenje date jednačine. Onda je i racionalan, kao i . Neka je tako da i . Na osnovu (4) imamo:

Neka je gde su prirodni, uzajamno prosti brojevi. Sada imamo iz čega sledi:

Kako su i uzajamno prosti, sledi da su oba razlomka u (6) neskrativi. Dakle:
i
Dalje nam treba sledeća lema.

Lema 1:

Neka su takvi da je . Ako je onda je za neko .

Dokaz:

Dovoljno je dokazati da ako je prost činilac broja takav da i (ovo ćemo dalje beležiti sa ), onda . Pošto je , vidimo da važi . Ako je , onda , pa je . Iz pretpostavke sledi .

Primenom leme 1 dva puta na (7) dobijamo da je i za neke . Dakle,

Dokazujemo još jednu lemu.

Lema 2:

Za sa i važi .

Dokaz:

Radimo indukcijom po . Za imamo . Sada pretpostavimo da tvrđenje važi za i dokazujemo da važi za .


Iz ove leme sledi da jednakost (8) može biti zadovoljena samo za (i tada je ). Dakle, i


Ovim je zadatak rešen.

Ko je sve pročitao svaka mu čast :)

edit: ispravljene omaške u kucanju na koje je kolega uranium skrenuo pažnju

[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 07.02.2009. u 02:23 GMT+1]
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
 
Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3994
*.smin.sezampro.yu.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253


+604 Profil

icon Re: Elementarna teorija brojeva07.11.2005. u 14:15 - pre 194 meseci
Evo i vrlo kratkog rešenja prvog zadatka.

Neka je prvi član posmatrane aritmetičke progresije a priraštaj . Onda svi brojevi oblika pripadaju toj progresiji i imaju iste proste faktore.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: Elementarna teorija brojeva

[ Pregleda: 3623 | Odgovora: 2 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.