Ja ću da dam malo obimniju diskusiju zadatka 2, nadam se da neću (previše) smoriti.
Za početak, tražimo realna rešenja jednačine
, gde je
nepoznata a
parametar (obe veličine su pozitivne).
Tvrđenje 1:
Postoji rešenje
jednačine (1) ako i samo ako je
, i za takvo
to rešenje je jedinstveno.
Dokaz:
Neka je
. Logaritmujući vidimo da je jednačina (1) ekvivalentna sa
(gde je
parametar). Broj rešenja jednačine (2) jednak je
(jedinicu oduzimamo da ne bismo računali trivijalno rešenje
). Dalje, pošto je
sledi da
raste na intervalu
, dostiže maksimum
u
, i opada u intervalu
. Pošto je
sledi da su prave
i
horizontalna i vertikalna asimptota funkcije
, redom. Dakle,
pa je i
Zaključak sada sledi iz (3).
Na osnovu tvrđenja 1 sledi da možemo definisati funkciju
koja preslikava domen
na samog sebe, takvu da
predstavlja jedinstveno netrivijalno rešenje jednačine
. Takođe primetimo da možemo da zamenimo mesta promenljivama
i
. Sada, posmatrajući grafik funkcije
(definisan u dokazu tvrđenja 1), primećujemo da dok
raste u
odgovarajuće
opada u
, i obratno. Dakle,
strogo opada na celom svom domenu. Osim toga, možemo proveriti da je
, pa ćemo ovo baš ovako i definisati. Ovo nam omogućuje da rešimo prvi deo zadatka:
a) Jedina netrivijalna prirodna rešenja posmatrane jednačine su
i
.
Dokaz:
Pošto je
jedini prirodan broj u intervalu
i
,
je jedina celobrojna tačka grafika
za
. Simetrijom dobijamo i drugo navedeno rešenje.
Napomena:
Ovaj deo zadatka mogao se rešiti i sasvim elementarno, međutim takvo rešenje se ne bi moglo dalje uopštiti, pa sam odlučio da napišem ovu varijantu. Ukoliko nekoga ipak zanima i elementarno rešenje neka se javi na ovoj temi pa ću i to ispisati.
Dalje, neka je za netrivijalno rešenje posmatrane jednačine
za neko
. Važi
i
može biti napisano u obliku
odnosno
pa je
iz čega sledi
pa nalazimo da je
. Neka je
. Tada možemo zapisati rešenja jednačine u parametarskom obliku:
Primetimo da su za
rešenja data sa
zapravo netrivijalna racionalna rešenja posmatrane jednačine. Prelazimo na rešavanje drugog dela zadatka.
b) Sva racionalna rešenja posmatrane jednačine data su parametrizacijom (5).
Dokaz:
Bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti da je
. Dakle, neka je
racionalno rešenje date jednačine. Onda je i
racionalan, kao i
. Neka je
tako da
i
. Na osnovu (4) imamo:
Neka je
gde su
prirodni, uzajamno prosti brojevi. Sada imamo
iz čega sledi:
Kako su
i
uzajamno prosti, sledi da su oba razlomka u (6) neskrativi. Dakle:
i
Dalje nam treba sledeća lema.
Lema 1:
Neka su
takvi da je
. Ako je
onda je
za neko
.
Dokaz:
Dovoljno je dokazati da ako je
prost činilac broja
takav da
i
(ovo ćemo dalje beležiti sa
), onda
. Pošto je
, vidimo da važi
. Ako je
, onda
, pa je
. Iz pretpostavke
sledi
.
Primenom leme 1 dva puta na (7) dobijamo da je
i
za neke
. Dakle,
Dokazujemo još jednu lemu.
Lema 2:
Za
sa
i
važi
.
Dokaz:
Radimo indukcijom po
. Za
imamo
. Sada pretpostavimo da tvrđenje važi za
i dokazujemo da važi za
.
Iz ove leme sledi da jednakost (8) može biti zadovoljena samo za
(i tada je
). Dakle,
i
Ovim je zadatak rešen.
Ko je sve pročitao svaka mu čast :)
edit: ispravljene omaške u kucanju na koje je kolega uranium skrenuo pažnju
[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 07.02.2009. u 02:23 GMT+1]
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
Elementarna teorija brojeva
;
.
