Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Elementarna geometrija

[es] :: Matematika :: Elementarna geometrija

[ Pregleda: 6197 | Odgovora: 4 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

qzqzqz

Član broj: 66936
Poruke: 219
*.ptt.yu.



Profil

icon Elementarna geometrija03.12.2005. u 10:37 - pre 182 meseci
Dat je jednakokraki trougao (). Kruznica sa centrom u sredistu osnovice sece osnovicy u tackama i i dodiruje krake ovog trougla tackama i . Neka je druga tacka preseka kruznice sa pravom . Dokazati da prava prolazi kroz srediste duzi .



Ajde molim vas samo elementarna resenja (moze i malo trig.).
 
Odgovor na temu

qzqzqz

Član broj: 66936
Poruke: 219
*.ptt.yu.



Profil

icon Re: Elementarna geometrija16.12.2005. u 15:51 - pre 182 meseci
bar neko
 
Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3990
*.smin.sezampro.yu.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253


+600 Profil

icon Re: Elementarna geometrija16.12.2005. u 18:49 - pre 182 meseci
Ja sam nešto kao razmišljao još kad si postavio temu, ali nisam uspeo da nađem elementarno rešenje.

Ukratko, nadam se da me nećeš pogrešno razumeti, ali preporučujem ti da naučiš dobro da rešavaš geometrijske zadatke čistom trigonometrijom i/ili kompleksnim brojevima. To ne bi trebalo da bude teško, štaviše usuđujem se da kažem da je dovoljno da uradiš 5-6 zadataka trigonometrijom i 5-6 kompleksnim brojevima (čak može da se radi i o istim zadacima). Ubuduće razmišljaš 15 minuta i ako je elementarno rešenje očigledno onda to i uradiš, a ako nije pređeš na tešku artiljeriju.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
 
Odgovor na temu

qzqzqz

Član broj: 66936
Poruke: 219
*.ptt.yu.



Profil

icon Re: Elementarna geometrija16.12.2005. u 19:37 - pre 182 meseci
Pokusavao sam preko kompleksnih (ako uzmem ABC za jednicni onda imam jos onaj drugi krug pa se mnoooogoo zakomplikuje) . A trigonometrijom isto ne uspevam nista, a da se ne ubijem od racuna. Mislim da je ovde najlakse elementarno .

[Ovu poruku je menjao qzqzqz dana 16.12.2005. u 20:41 GMT+1]
 
Odgovor na temu

Farenhajt
Goran Kapetanović
Beograd

Član broj: 78132
Poruke: 449
62.193.129.*



+6 Profil

icon Re: Elementarna geometrija19.12.2005. u 08:02 - pre 181 meseci
Nažalost, nemam trenutno nikakav program za crtanje geometrijskih slika (preporuke? adrese? hvala unapred ), pa vas molim da uložite mentalni napor pri praćenju dokaza.

Lema 1: Ako je osnovica jednakokrakog trougla a, a odgovarajuća visina h, onda je odstojanje ortocentra od osnovice .

Dokaz preko sličnosti. Neka je C teme, AB osnovica, CM visina i H ortocentar jednakokrakog trougla. Tada su trouglovi AMH i CMB slični (pravougli kojima odgovarajući uglovi imaju normalne krake), te je tj. , odakle je

Lema 2: Visina na hipotenuzu pravouglog trougla čije su katete a i b, a hipotenuza c iznosi .

Dokaz elementaran, pošto je , gde je P površina trougla.

Lema 3: Podnožje visine na hipotenuzu pravouglog trougla čije su katete a i b, a hipotenuza c deli hipotenuzu na delove dužine (uz katetu a) i (uz katetu b).

Dokaz takođe prost, primenom sličnosti. Ako je AB hipotenuza, a CM visina pravouglog trougla, onda su trouglovi ABC i AMC slični (zajednički ugao), pa se ima tj. , odakle je . Slično je i .

Dokaz glavnog tvrđenja. Neka je AS visina trougla ABC (time je S i centar kružnice k), neka je Q druga presečna tačka kružnice k i duži AF, i neka se duži EQ i PF seku u tački T. Dokazaćemo da su tačke M, T i N kolinearne, iz čega će, zbog simetrije, slediti da je T središte duži MN.

Neka je AB = AC = b, BC = a, AS = h. Pošto je SM hipotenuzna visina trougla ASB (AB je tangenta, a SM poluprečnik kružnice k, pa je ugao BMS prav), prema Lemi 2 imamo da je , a prema Lemi 3 je . Neka je MK visina pravouglog trougla MBS. Prema Lemi 2 imamo da je .

Nadalje, trougao AEF je jednakokrak (AE = AF, što se lako dokazuje preko podudarnosti trouglova ASE i ASF), a T je ortocentar tog trougla, jer su uglovi EPF i EQF pravi, kao uglovi nad prečnikom EF. Pošto je SM = SE = SF (poluprečnici), sledi da je EF = 2SM = , pa je prema Lemi 1

Pošto je TS = MK, dokazali smo da su tačke M, T i N podjednako udaljene od osnovice BC, te su stoga kolinearne, pa je T središte duži MN.

[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 20.12.2005. u 19:50 GMT+1]
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: Elementarna geometrija

[ Pregleda: 6197 | Odgovora: 4 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.