Još jedan zadatak

1. Naći koeficiente uz x^17 i x^18 u izrazu (1+x^5+x^7)^n.

poz.

[Ovu poruku je menjao kajla dana 01.07.2002 u 11:13 PM GMT]

Nemogu da verujem da niko nemože da reši ovaj zadatak...samo treba malo uključiti mozak nije potrebno nikakvo znanje.

poz.

Ovde nema rešenja, koliko videh na brzinu, jer bi moderator hteo da prvo rešimo zadatak, pa tek onda da ga pročitamo.
Ako moje rešenje nije tačno, praštajte, požurila sam da udovoljim moderatoru.

Šalu na stranu, kad imam vremena, pogledam ovde i uradim onoliko koliko mogu da stignem i znam, od onoga što je meni lično interesantno, a isto tako vidim da ima uvek još toga da se radi. Prema tome, samo želim da kažem da ne sedim ovde i po ceo dan rešavam zadatke sa foruma. Valjda nisam jedina.

A ti, kajla, ne shvataj lično, već kao neki predlog.

poz

Potpis

beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi

Ajde malo pojasni ovaj deo poruke.

poz.

Pa jednostavno, zbog postavke zadatka razlika u stepenima mora biti 2 kad se izraz razvije. Tj., trebalo bi tako da bude, pa za date stepene zadatak nema rešenja.

Ne znam da li tako baš mora da bude (treba dokazati), ali ovako od oka i na prvi pogled mi deluje kao tako. Nisam još zadatak radila detaljno, a ako krenem, videću šta ću dobiti.

poz

Potpis

beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi

Ne znam šta ti znači "zadatak nema rešenja". Evo da bi pomogao malo rećiću da je kojeficient uz x^18 nula. Neka neko pokuša da nađe kojeficient uz x^17. Još da napomenem da se zadatak može rešiti korišćenjem polinomne formule, ali probajte da rešite bez nje.

poz.

He, he, pa upravo to mi znači da nema rešenja (u skupu realnih brojeva različitih od nule, gde stavljam uslov različitosti od nule da bi se oba stepena pojavila istovremeno) Ako dopustim da koeficjent može biti nula, onda mogu da kažem da rešenja ima.

Može se ovo rešiti i binomnom formulom, grupisanjem činilaca, ili Paskalovim trouglom, a svakako će se dobiti da je drugi koeficjent broj 3.

Pokušala sam da objasnim da je na prvi pogled jasno da je nemoguće pojavljivanje oba stepena istovremeno, upravo zato što je razlika stepena u postavci veća od jedinice, pa će sve operacije nad stepenima koje budemo radili napraviti istu tu razliku.

poz

Potpis

beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi

Koji drugi kojeficient - da li misliš na kojeficient uz x^17? (inače kojeficient uz x^17 je n(n-1)(n-2)/2 )
Nema potreba za upotrebu binomne formule, sa malim znanjem kombinatorike zadatak se može lako rešiti.

poz.

Sada se izvinjavam zbog nepreciznosti.

Naime, broj 3 se dobija za slučaj da je n jednako 3, broj koji sam koristila u razvoju da bih olakšala sebi uočavanje pravilnosti do koje mora doći. U medjuvremenu si odgovorio...

Pazi ovako, ja mogu da kažem da nema potrebe za korištenjem kombinatorike, kao što ti kažeš obrnuto. Za binomnu formulu ti treba minijaturno znanje same formule, a radi strožijeg rešenja lako se matematičkom indukcijom dokaže rešenje zadatka.

Pitanje je ukusa koje je rešenje elegantnije, dok meni lično kombinatorika nije ni približno zanimljiva koliko rešavanje bilo kojim drugim aparatom, ukoliko je to moguće.

Lično mi se više sviđa kad neko sam dođe drugim putem do rešenja, ne pretpostavljajući ga unapred i ne koristeći unapred poznat postupak.

poz

Potpis

beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi

Mislim da je prirodnije rešiti zadatak kombinatornim razmatranjem, nego na probavanje za male stepene (2,3,4...) naći formulu i dokazati tu formulu indukcijom.

poz.

Uopšte se ne radi o 'probavanju'. Potrebno je malo matematičkog iskustva da bi se odmah videlo da neka pravilnost postoji i sasvim je očigledan i najmanji broj koji će se koristiti da bi se dobio traženi stepen. Uopštavanje najmanjeg broja je sasvim prirodna stvar i tu nema nikakvog probavanja.

Isto tako na nekom nižem nivou se ne traži dokazivanje formule za svako n, ja sam to pomenula kao nešto što bi dalo strožije rešenje.

Umesto rasprave o ukusu (jer je to što je tebi prirodnije potpuno relativna stvar) napiši svoje rešenje i objasni ga.

poz

Ps. offtopic, ali da li je rešavanje zadatka o kilogramima prelaskom na binarnu osnovu prirodno? Mala digresija kojom hoću da kažem da se radi o ukusu.

Potpis

beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi

Sutra ću postovati rešenje jer danas nemam vremena. Što se tiče zadatka sa tegovima, mislim da je prebacivanje u binarni sistem najelegantnije rešenje. (zato i nije tako lako setiti ga se).

poz.

Uz x^18 je kojeficient nula jer se množenjem 1,x^5 i x^7 nikako nemože dobiti x^18.
izraz (1+x^5+x^7)^n možemo napisati kao (1+x^5+x^7)*(1+x^5+x^7)*...*(1+x^5+x^7). Množenjem ovih n zagrada dobijamo 3^n sabiraka oblika c1*c2*c3*...*cn gde je ci={1,x^5,x^7}. x^17 možemo dobiti jedino množenjem x^5*x^5*x^7. Broj načina na koji možemo iz n zagrada izabrati dva puta x^5 i jednom x^7 je jednak kojeficientu uz x^17. Dva x^5 možemo izabrati na n*(n-1)/2, x^7 možemo izabrati na (n-2) načina. Znači broj načina je n*(n-1)*(n-2)/2 načina.

Na ovaj način može da se dobije i polinomna formula. (naravno samim tim i binomna)

poz.

Slažem se da je binarna osnova kao ideja zadatka o tegovima najelegantnija, ali nije prirodna. Nije baš ni teško setiti se ideje, obzirom da se sama nameće kad se zadatak lepo postavi. Jedini uslov da se neko seti binarne osnove je poznavanje rada sa njom, ništa više.

Našla sam neki sličan zadatak tome, pa ću ga postovati kad nađem više vremena.

Moje rešenje zadatka ove teme je prilično kraće od tvog, ako ništa drugo, a tvoje se takođe može dokazati indukcijom kad bi neko zahtevao baš strogo rešenje.

poz

Potpis

beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi

Zavisi šta podrazumevaš pod kraće. Ja sam ovde dosta detaljno izložio ideju koja je u osnovi dosta jednostavna.

poz.

He, he, pa ti i ja možemo ko zna koliko da pričamo ovako. Sigurno je da će svako braniti svoj stav i nema potrebe da nastavljamo, već smo dosta rekli.

Trebao bi da znaš kao moderator koliko su moja rešenja detaljna.

poz

Potpis

beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeezi