Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Najtezi zadatak sa svih Olimpijada!

[es] :: Matematika :: Najtezi zadatak sa svih Olimpijada!

[ Pregleda: 16113 | Odgovora: 12 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

Tisma

Član broj: 13213
Poruke: 305
*.absolutok.net



+1 Profil

icon Najtezi zadatak sa svih Olimpijada!10.02.2004. u 21:29 - pre 212 meseci
Neka je ABCDEF setougao takav da je AB!!DE , BC!!EF , i AF!!CD. Ako su R1, R2, i R3 poluprecnici krugova opisanih oko trouglova ABC, CDE i EFA, a P obim sestougla, dokazati da je
R1+R2+R3>=P/2
Ovaj zadatak je bio na jednoj olimpijada i uspeo je da ga resi samo jedan lik (mislim da je iz Rumunije).
Legenda: !! (znaci paralelno)

[ mod markom: obrisano 12 znakova uzvika iz naziva teme ]
Bolje jedno vruće pivo nego četri ladna!
 
Odgovor na temu

noviKorisnik
Dejan Katašić
Novi Sad

Član broj: 13216
Poruke: 4533
*.bankmeridian.com

Sajt: www.novikorisnik.net


+5 Profil

icon Re: Najtezi zadatak sa svih Olimpijada!11.02.2004. u 10:07 - pre 212 meseci
Neka pomoć? Recimo - poluprečnik opisane kružnice trougla u funkciji dužina stranica trougla?
 
Odgovor na temu

Tisma

Član broj: 13213
Poruke: 305
*.absolutok.net



+1 Profil

icon Re: Najtezi zadatak sa svih Olimpijada!11.02.2004. u 12:03 - pre 212 meseci
Uputstvo za resavanje zadatka:
treba nesto produziti i onda se resava preko sinusne teoreme
Bolje jedno vruće pivo nego četri ladna!
 
Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3991
195.252.80.*

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253


+604 Profil

icon Re: Najtezi zadatak sa svih Olimpijada!11.02.2004. u 19:51 - pre 212 meseci
Stavio si zvučan naslov, a zadatak je smešno lak, nije mi trebalo više od 20 min. da ga uradim, mada sam možda nešto prevideo jer rešenje stvarno izgleda prosto.

Kao što znamo, za trougao ABC važi da je 2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC. U ovom zadatku to koristimo ovako: 2R1=AC/sinB, 2R2=CE/sinD, 2R3=AE/sinF.

Produžimo stranice AF i CD do preseka sa normalama na njih kroz tačke B i E. Tako dobijamo pravougaonik. Očigledno je AC >= stranica koja sadrži tačku B. Dužinu stranice kroz B možemo izraziti na sledeći način: ABsinA+BCsinC. Slično, stranica kroz E je jednaka: DEsinD+EFsinF. Kako su te dve stranice jednake, možemo pisati:
2AC>=ABsinA+BCsinC+DEsinD+EFsinF

Slično, konstruišemo pravougaonike produživanjem preostala dva para stranica, i dobijamo:
2CE>=CDsinC+DEsinE+ABsinB+AFsinF
2AE>=BCsinB+CDsinD+EFsinE+AFsinA

Deljenjem prve jednakosti sa sinB, druge sa sinD i treće sa sinF i sabiranjem dobijamo:
2AC/sinB + 2CE/sinD + 2AE/sinF >= AB(sinA/sinB+sinB/sinD) + BC(sinC/sinB+sinB/sinF) + CD(sinC/sinD+sinD/sinF) + DE(sinD/sinB+sinE/sinD) + EF(sinF/sinB+sinE/sinF) + AF(sinF/sinD+sinA/sinF)

Sada se podsetimo da su naspramne stranice paralelne, što bi značilo jednakost uglova: A=D, B=E, C=F. Posle ovoga postaje očigledno da svaki izraz u zagradi na desnoj strani jednakosti ima oblik k+1/k, a poznato je da je minimalna vrednost svakog izraza ovog oblika jednaka 2, kada je k=1. Znači, sve se svodi na:
4R1 + 4R2 + 4R3 = 2AC/sinB + 2CE/sinD + 2AE/sinF >= onaj dugačak izraz >= 2(AB + BC + CD + DE + EF + AF) = 2P, što je i trebalo dokazati.

Smatram da je ovo korektno rešenje, iako mi i dalje izgleda previše jednostavno za zadatak sa Olimpijade.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
 
Odgovor na temu

Tisma

Član broj: 13213
Poruke: 305
*.absolutok.net



+1 Profil

icon Re: Najtezi zadatak sa svih Olimpijada!11.02.2004. u 21:07 - pre 212 meseci
U pravu si da je lak kad imas uputstvo,samo sto toga nema na Olimpijadi i niko se nije setio da produzi stranice sem tog jednog lika iz Rumunije koji je 4 godine za redom imao max br. poena na olimpijadama!!!
Bolje jedno vruće pivo nego četri ladna!
 
Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3991
*.dialup.neobee.net.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253


+604 Profil

icon Re: Najtezi zadatak sa svih Olimpijada!22.03.2005. u 15:06 - pre 199 meseci
Evo još jednog rešenja ovog zadatka.

Konstruišimo u datom šestouglu tačke , i takve da su četvoroguli , i paralelogrami. Neka je trougao čije su stranice linije kroz , i normalne na , i , redom, tako da , , . Četvorougao je tetivan pa iz toga sledi da je , i analogno za ostale uglove, pa dobijamo da su trouglovi i slični.

Trouglovi i su podudarni, pa im je poluprečnik opisane kružnice isti. Sa druge strane, je prečnik kružnice opisane oko trougla pa je . Slično, i . Zadatak se sada svodi na dokazivanje sledeće relacije:



U slučaju ovo zapravo predstavlja Erdeš-Mordelovu nejednakost. U opštem slučaju postupamo na sledeći način.

Neka su i tačke na stranicama i , redom, takve da je i . Neka su i podnožja normala iz tačaka , , redom, na . Pošto je površina trougla jednala zbiru površina trouglova , i možemo zapisati ovako:

. \

Radi lakšeg zapisa označimo , , . Tada ova relacija postaje:



Dalje, pošto je trougao pravougli imamo da je



Saberimo ovo sa analognim relacijama za i i dobijamo:



Sad je bitno zapaziti sledeću jednakost:



Pošto smo na početku konstatovali da su trouglovi i slični, možemo zapisati:



Na osnovu nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine imamo da je



Sabiranjem ovoga sa dve preostale analogne relacije članovi koji sadrže umnožak se međusobno pokrate i ostane nam upravo ono što treba dokazati, čime je zadatak rešen.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
 
Odgovor na temu

kurtkobejn

Član broj: 89514
Poruke: 29
*.cmu.carnet.hr.



Profil

icon Re: Najtezi zadatak sa svih Olimpijada!27.03.2006. u 12:33 - pre 186 meseci
a kako to ide na olimpijadi?dobivaš zadatke na engleskom ili na svom jeziku?šta ako netko ne zna engleski??
 
Odgovor na temu

qzqzqz

Član broj: 66936
Poruke: 219
82.208.234.*



Profil

icon Re: Najtezi zadatak sa svih Olimpijada!28.03.2006. u 07:19 - pre 186 meseci
Dobijas zadatke na svom i engleskom jezika. Resenja pises na kom hoces...
 
Odgovor na temu

gygasync
Igor Pejakovic
nista
Celinac, Bosna i Hercegov

Član broj: 286852
Poruke: 2
*.teol.net.



Profil

icon Re: Najtezi zadatak sa svih Olimpijada!23.06.2011. u 14:36 - pre 123 meseci
EE ja sam uradio to bez ikakvog sinussa i teorije samo logika i jednacine, ako hoce neko stavicu sliku sa fjesa.
 
Odgovor na temu

edisnp

Član broj: 269233
Poruke: 478
*.adsl.eunet.rs.



+27 Profil

icon Re: Najtezi zadatak sa svih Olimpijada!23.06.2011. u 14:44 - pre 123 meseci
Stavi
حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)
 
Odgovor na temu

gygasync
Igor Pejakovic
nista
Celinac, Bosna i Hercegov

Član broj: 286852
Poruke: 2
*.teol.net.



Profil

icon Re: Najtezi zadatak sa svih Olimpijada!23.06.2011. u 15:43 - pre 123 meseci

mada nisu svi tu koraci neki su ostali na maramici za naocale

[Ovu poruku je menjao gygasync dana 23.06.2011. u 20:20 GMT+1]
 
Odgovor na temu

Bojan Basic
Novi Sad

SuperModerator
Član broj: 6578
Poruke: 3991
*.dynamic.sbb.rs.

Jabber: bojan_basic@elitesecurity.org
ICQ: 305820253


+604 Profil

icon Re: Najtezi zadatak sa svih Olimpijada!30.06.2011. u 01:07 - pre 122 meseci
Bravo, rešio si slučaj kada je šestougao pravilan. Još samo da rešiš sve ostale slučajeve.
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.
 
Odgovor na temu

triac

Član broj: 280995
Poruke: 155
*.dynamic.sbb.rs.



+29 Profil

icon Re: Najtezi zadatak sa svih Olimpijada!30.06.2011. u 01:28 - pre 122 meseci
Citat:
gygasync
mada nisu svi tu koraci neki su ostali na maramici za naocale


U to se nije ni sumnjalo
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: Najtezi zadatak sa svih Olimpijada!

[ Pregleda: 16113 | Odgovora: 12 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.